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dice tripla, o ima radice quadrupla, nei quali casi i gruppi della biquadra- 

 tica sono di ordine infinito e facilmente pensabili e costruibili ('). 



« Fra le quistioni intanto che restano assodate (dal punto di vista della 

 geometria sintetica) col contenuto del presente scritto, mi piace far notare 

 essere quella dello studio della geometria proiettiva nella regione (alla di- 

 stanza di un infinitesimo cioè) che circonda il punto di contatto (semplice 

 per entrambe) di due superficie, poiché tale studio si riduce a quello della 

 coppia delle involuzioni dupiniane intorno al punto. 



« 1. Avendosi una forma bilineare simmetrica fra due variabili, essa, 

 interpetrata in una forma di 1 a specie, dà luogo ad una involuzione quadra- 

 tica. Ora la proposizione a cui ci proponiamo di arrivare è la seguente: 



« La condizione necessaria e sufficiente affinchè una coppia di forme bi- 

 lineari simmetriche fi = 0, f 2 = 0 si possa linearmente mutare in una si- 

 mile coppia // = 0 , f% = 0 , è che ciò possa farsi sulle omografie P, P' 

 risultati dalla composizione delle involuzioni li , I 2 rappresentate da f x = 0, 

 f 2 = 0, e delle involuzioni l'i , I' 2 rappresentate da f \ == 0 , /' 2 = 0 ; meno 

 quando (s' intende, con trasformazioni reali) essendo P , P' proiettività fra 

 forme concordi siano dotate entrambe di elementi uniti distinti, nel quale 

 caso occorre ancora che le li , I 2 le quali sono allora della stessa specie, siano 

 anche della stessa specie delle l'i , I' 2 » • 



« Per dimostrare questo teorema, e nello stesso tempo non trascurare 

 alcun caso, dimostriamo in primo luogo che una proiettività qualunque Q 

 può sempre, in infiniti modi, risultare dal prodotto di due involuzioni. In 

 fatti, se aa', W sono due coppie qual. di elem. corrisp. in Q, il prodotto 



b' a' 



dell' involuzione /= |ab', a' b| per Q darà la proiettività /' = che 



a d 



è evidentemente involutoria. Ma dalla relazione IQ = I' ricavasi, con una 

 moltiplicazione a sinistra, i7' = Q, dunque la proposizione è dimostrata. 



« Eisulta da ciò che le P, P', di cui è parola nell'enunciato teorema, 

 possono essere di specie qualunque, cioè o dotate di due elementi uniti di- 

 stinti, o dotate di due elementi uniti coincidenti, o prive di elementi uniti. 

 Noi considereremo questi casi separatamente, facendo notare che, essendo evi- 

 dente essere necessaria la condizione enunciata ( 2 ), ci limiteremo solamente 

 a dimostrare essere sufficiente. 



(!) Nel caso di duo radici doppie e di una radice tripla il gruppo è composto di tutte 

 le involuzioni armoniche ad una data e di tutte proiettività che hanno questa per invo- 

 luzione unita. Nel caso di una radice quadrupla si compone di tutte le proiettività invo- 

 lutorie e non, che lasciano inalterato un punto fisso. 



( 2 ) Si ha, anzi, la proposizione più generale seguente: Se due corrispondenze 

 univoche qualunque fli, t) 2 sono mutabili mediante una terza corrispon- 

 denza univoca 0 in due altre fl'1,6'2, sarà anche il prodotto 0 t 6 2 mu- 

 tabile, mediante 0, nel prodotto b'i 6' 2 = ,«/. Fra i diversi modi di concepire la verità 

 di questa proporzione vi è il seguente. Per ipotesi si ha 6 _I 0, e = tì\ , 0- 1 0 2 6 = 6' a , 

 quindi anche (6-' 0, n) (fl- 1 f) 2 0) = d\ tì' 2 , cioè fi- 1 e, 6, f) = b\ 6', . 



