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« Se le P, P' sono proiettività dotate di elementi uniti coincidenti, la 

 condizione di corrispondersi esse rispetto a trasformazioni lineari è soddisfatta 

 sempre ('). In tal caso, dicendo e l'unico elemento unito di P ed* e' l'unico 

 elemento unito di P', le involuzioni L , I 2 hanno un elemento doppio comune 

 in e, e le involuzioni l'i , I' 2 hanno un elemento doppio comune in e'. Quindi, 

 ponendo una proiettività che faccia corrispondere ai due elementi doppi 

 di li , I 2 , non coincidenti con e, gli elementi doppi di l'i , I' 2 , non coinci- 

 denti con e', ed all'elemento e l'elemento e', tale proiettività cangerà la 

 coppia li I 2 , nella coppia 1\ I' g , scambiando o I x in l'i e I 2 in I' 2 , o li 

 in I' 2 e I 2 in l\. 



« Se P e P' non sono della specie ora considerata, detta 6 una trasfor- 

 mazione lineare in cui esse si corrispondono, in 6 saranno corrispondenti 

 anche le involuzioni unite I, I' di esse, e perciò queste saranno o entrambe 

 ellittiche o entrambe iperboliche. Nel 1° caso tanto le li I 2 che sono armoniche 

 a 1, quanto le 1\ \\ , che sono armoniche a I', sono iperboliche; nel 2° caso 

 possono essere, invece, indifferentemente, ellittiche o iperboliche. 



« In questo secondo caso però se P è fra forme discordi (e quindi tale 

 anche P', perchè una trasformazione lineare lascia invariato il modo col 

 quale due elementi a cui si applica descrivono una forma), tanto delle li , I 2 

 quanto delle l'i , I' 2 l'ima è iperbolica e l'altra ellittica, dovendosi il senso 

 della forma invertire mediante I 2 (o I' 2 ) se è mantenuto lo stesso da li (o l'i) 

 e mantenere lo stesso se è invertito. Se però P (e quindi P') è fra forme 

 concordi, possono le \ x , I 2 essere ellittiche e le l'i , F 2 iperboliche, o vice- 

 versa ( 2 ): in tal caso mentre esistono trasformazioni lineari reali che mu- 



(!) In fatti, dicendo ai a 2 a 3 tre elementi successivamente corrispondenti in P ed 

 a'i a's a' 3 tre elementi successivamente corrispondenti in P', siccome sono armonici i 



gruppi ea 2 ai a 3 , é'aVa'iaY, la proiettività 6 = a , 1 a , 2 a , 3 muta e in e'; e perciò mu- 



a i a 2 a 3 



tando ancora le due coppie ai a 2 , a 2 a 3 di P nelle due coppie a'i a' 2 , a' 2 a' 3 di P', muta 

 P in P'. 



( 2 ) In fatti, se li , I 2 sono entrambe ellittiche, prendendo un' involuzione I 3 iperbo- 

 lica ed armonica a I, il che è sempre possibile di fare, il prodotto I 3 P sarà anche una 

 involuzione iperbolica, poiché I, e P sono l'una fra forme discordi e l'aUra fra forme 

 concordi. Chiamando I 4 un tal prodotto, dalla relazione J 3 P = I 4 ricavasi I 3 1 4 = P, la 

 quale mostra precisamente che P può nascere anche dal prodotto di due involuzioni iper- 

 boliche. Ciò, d'altronde, si può vedere anche nel modo seguente. Siano ef gli elementi 

 uniti di P ed min' una sua coppia di elementi corrispondenti qualunque; essendo P fra 

 forme concordi, nini' saranno entrambi o nell'uno o nell'altro dei due segmenti che ef 

 determinano nella forma ; sicché prendendo ad arbitrio un altro elemento qualunque irli , 

 secondo che questo cadrà in quello dei due segmenti in cui stanno miri' o nell'altro, le 

 involuzioni J 3 = [ef, miihl , I 4 = |ef, Uh m'| saranno tutte e due iperboliche o tutte e due 



ellittiche. In entrambi i casi si ha però I 3 1 4 ^ e J I \ = P. 



