— 240 — 



tano P in P' non esisterebbero evidentemente trasformazioni lineari reali 

 capaci di mutare la coppia li I 2 nella coppia l'i I' 2 . 



« Ora, posto che quando P è fra forme concordi e con elementi uniti 

 distinti, le li I 2 siano della stessa specie delle l'i F 2 , è facile vedere che, 

 qualunque sia il caso che si consideri, basterà mostrare come esistono tra- 

 sformazioni lineari che, mentre mutano P in P', mutano anche una delle 

 li I 2 in una delle l'i I' 2 , poiché dalle relazioni 



LI 2 = P, IM^p 



seguendone le altre 



i 2 ee,IiP, r 2 ^iiP, 



queste mostrano la verità dell'asserto. Anzi, siccome tutte le trasformazioni 

 lineari che cangiano I in T cangiano anche (') P in F o P in P' -1 , così 

 basterà mostrare che esiste una trasformazione lineare che mentre muta I 

 in I' muta anche una delle li , I 2 in una delle ì\ , I' 2 , poiché nel caso che 

 quella trasformazione mutasse P in P' -1 , basterebbe far seguire ad essa una 

 conveniente involuzione armonica alla I'. 



« La quistione è dunque ridotta a mostrare che è possibile mutare una 

 coppia di involuzioni armoniche III in un'altra coppia d'involuzioni armo- 

 niche ITi della stessa specie di quelle. Ora due casi sono possibili: o 

 che 1,1, (e quindi anche I', l'i) sono iperboliche, o che l'una è iperbolica 

 e l'altra è ellittica. 



« Nel 1° caso, ponendo un'omografia che faccia corrispondere ai due ele- 

 menti doppi di I i due elementi doppi di I' e ad un elemento doppio di li 

 un elemento doppio di l'i , questa omografìa farà corrispondere fra loro anche 

 gli altri elementi doppi di li , l'i , e quindi cangerà I in T e li in IV 



«Nel 2° caso, posto III = /, IT i = /' si avranno in 1,1' due invo- 

 luzioni iperboliche, armoniche rispettivamente a I li , ITi ; quindi, siccome 

 ogni trasformazione della coppia III nella coppia I'T l è una trasformazione 

 di I in I', così, supposto che li , l'i siano quelle delle involuzioni delle due 

 date coppie che sono iperboliche, siamo ricaduti sul caso precedente. 



« Noi possiamo dunque affermare che l'enunciato teorema è completa- 

 mente dimostrato e per tutti i casi. 



« 2. Ora, siccome ciò che caratterizza geometricamente e completamente, 

 dal punto di vista delle proprietà proiettive, una proiettività P è il gruppo 



(!) Che in una trasformazione che muta I in I' siano corrispondenti P e F o P 

 P ~ 1 , quando I (e quindi I') non sono paraboliche, risulta dal fatto che, indicando con tìi 

 una di quelle trasformazioni, fli cangia P in una proiettività Pi che ha I' per involu- 

 zione unita, e che corrisponde a P' nella proiettività fi -1 0 t 6 = 0 2 , la quale, cangiando 

 quindi I' in se stessa, sarà un' involuzione armonica I', o una proiettività che ha I' per 

 involuzione unita. Nel 1° caso 0 2 muta P' in P' _1 , e nel 2° muta P' in sè stessa, dunque 

 sarà o P:=P' o P.eeP'- 1 . 



