formato dai suoi elementi uniti e da una coppia di elementi corrispondenti 

 qualunque, o il gruppo formato da quattro elementi successivamente corrispon- 

 dentisi in P ('); e siccome due elementi corrispondenti in P sono due ele- 

 menti che hanno un altro stesso elemento come coniugato in l t e I 2 , e gli 

 elementi uniti di P sono quelli rappresentati dall' involuzione armonica 

 a li , I 2 , così alla condizione della proiettività delle P , P' per la proietti- 

 vita delle coppie I, I 2 , l'i l' 2 si può sostituire una qualunque delle seguenti : 



1° che il gruppo formato dall'involuzione armonica 

 a li , I 2 e da due elementi che in Ii,I 2 hanno uno stesso altro 

 elemento come coniugato sia proiettivo al gruppo analogo 

 formato colle I\ ,1' 2 . 



2° che il gruppo formato da quattro elementi nii m 2 m 3 m 4 

 tali che m 8 mi+i (i =1 , 2 , 3) abbiano uno stesso elemento come 

 coniugato in Ii,I 2 sia proiettivo al gruppo analogo m\ m' 2 m' 3 m' 4 

 formato colle l'i, T 2 . 



« Questa seconda condizione dà evidentemente un mezzo assai semplice 

 per assicurarsi con costruzioni lineari della proiettività o meno delle coppie 



11 le, l'i r 2 . 



« Così, se m 4 = mi e quindi ni' 4 = m'i o se nii ni 3 m 2 ui 4 è armonico 

 e quindi tale anche ni'i m' 3 in' 2 m\ , cioè se le proiettività P , P' sono 

 cicliche di 3° o 4° ordine, la coppia li I 2 è trasformabile in Ti F 2 ( 2 ). 



(') In fatti si ha che in ogni proiettività il gruppo formato dall'involuzione unita 

 e da due elementi corrispondenti rimane proiettivo a sè stesso variando questi elementi, 

 e che due proiettività per cui questi gruppi sono proiettivi sono anch'esse proiettive. La 

 stessa cosa accade pel grappo formato da un elemento e da tre che successivamente gli 

 corrispondono nella proiettività. 



( 2 ) Per questi due casi la proposizione si può d'altronde, e con qualche vantaggio, 

 dimostrare direttamente come segue. 



Osserviamo anzitutto che se P = I, I 2 è una proiettività ciclica del 3° ordine, il con- 

 iugato di un elemento doppio di una delle li , I 2 nell'altra è pure il coniugato di un ele- 

 mento doppio di questa nella prima; e che se P è ciclica di 4° ordine i coniugati dei due 

 elementi doppi dell'una nell'altra sono coniugati nella prima. In fatti, detti e t fi gli ele- 

 menti doppi di li ed e 2 f > quelli di I 2 , nel 1° caso, mentre si ha li =| d d , e 2 e"| , 



1 2 = Id e", e 2 e 2 [ si avrà P = li I 2 = e . 1 , e Gi ; e nel secondo caso, mentre si ha 



e e 2 e t 



Ii = |eie,,fifi,e"f"[, I 2 = |d e",fi f"| si avrà P =1, 1 2 = ^Jl'J*,*" . Ora, detti 



e li I Gì 



e'i fi , e' 2 f 2 rispettivamente gli elementi doppi di l'i , I' 2 ed e'", f " gli elementi che nei 

 casi di P' ciclica di 3° o 4° ordine hanno lo stesso significato degli elementi e", f " 

 rispetto alle li , I 2 , si avrà che 



1° quando P e P' sono cicliche del 3° ordine, nelle corrispondenze lineari 

 „ = e, fi e"/e 2 f, \ = e, fi e"/e 2 f 2 \ 

 l ~e'ifie' /, \e' 2 f 2 / ' 2 ~V 2 f ,e'"Ve'.fi/ ' 

 per l'armonia dei gruppi d fi e 2 e", e 2 f 2 ei e", e'i fi e' 2 e'", e' 2 fa e'i e'", saranno anche 

 coppie di elementi corrispondenti rispettivamente le coppie e 2 e' 2 , e 2 e'i ; e quindi mentre 



Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 33 



