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« 3. Passiamo ora alla costruzione delle corrispondenze di cui è parola 

 nel n. 1 : all'attento lettore non sarà sfuggito ch'essa è stata già implicita- 

 mente data: noi però vogliamo in questo numero farne l'enumerazione a 

 seconda dei diversi casi e rilevarne qualche proprietà. 

 « I casi a distinguere sono i seguenti 

 1° o che le involuzioni in ciascuna delle due coppie sono iperboliche 

 con un elemento doppio comune ; 



2° o che sono iperboliche e con gli elementi doppi dell'una distinti 

 dagli elementi doppi dell'altra. 



3° o che l'una è iperbolica e l'altra ellittica ; 

 4° o che sono entrambe ellittiche. 

 « Nel 1° e 2° caso diremo e x fi , e 2 f 2 , e\ t\ , e' 2 f ' 2 gli elementi doppi 



di i 15 i 2 ,r 15 r 2 



« Nel 3° caso supporremo essere Ij , I\ le involuzioni ellittiche , e 

 diremo e 2 f 2 , e' 2 f \ gli elementi doppi di I 2 , Y% ed e x fi , e'i f \ quelli delle 

 involuzioni l l I = I 1 , I\ I'= I\ . 



« Nel 4° caso diremo e! fi , e 2 f 2 , e\ f \ , e' 2 f ' 2 gli elementi doppi delle 

 involuzioni I a I = I x , I 2 1 = l'i 1' , T 2 V I\ . 



« Allora si avrà che 

 nel 1° caso, supposto fi = f 2 , f \ = f \ , le corrispondenze sono 



d f, = f 2 e 2 = e l f, =f 2 e 2 



6 i f i = f 2 6 2 6 2 f '1 = f ' ì 6'i 



Wl - e 'if'i^f' 2 e' 2 

 nel 2° e 4° caso sono in vece 



_Ie 1 /f 1 \ _Ie 1 /f 1 \ _Ie 1 /f 1 \ _Ie 1 /f 1 \ 

 ^^l'e'Xfj ' I'f'AeV ' /t3 -re' 2 \fV' ^ = IT 2 W 



coli' intesa però che, siccome con la coppia II' d'involuzioni corrispondenti 

 ed una coppia di elementi si individuano due diverse proiettività (') luna 



Ai (# 2 ) muta li (I 2 ) in l'i muta anche I 2 (I,) in I' 2 . Si hanno così 2 corrispondenze 

 che permettono il passaggio dall'una coppia d' involuzioni all'altra. Ma prendendo per e'" 

 non il coniugato di e'i in I' 2 ma il coniugato di fi in questa involuzione si hanno allo 

 stesso modo altre 2 corrispondenze. Dunque in totale le corrispondenze sono in numero 

 di 4. Lo studio di queste sarà con maggior dettaglio fatto nel testo. 



2° quando P e P' sono cicliche del 4° ordine, ognuna delle due prime (seconde) 

 fra le corrispondenze lineari 



_d fi e" li" \ _ e, ft e"/f" \ _ e, f, e" /f" \ _e,f, e" /f" \ 

 mi = e\ f\ AH ' 2 = f» e'i rVV ' 3 = e' 2 f. e* ( f * j ' = f 2 e' 2 f v 1 e v ) 

 (ove e v , f v sono i coniug. di e' 2 , f \ in l'i) scambiando I t in l'i (I' 2 ) farà corrispondere fra 

 loro gli elementi f",f' v (f v ) o f",e'"(e v ), e quindi muterà anche I 2 in J' 2 (l'i). Si hanno 

 dunque in totale 4 corrispondenze e non se ne hanno altre. 



(!) In fatti, detta pp' la coppia degli elementi corrispondenti e p t l'elemento coniu- 

 gato di p in I , se si indica con J l'involuzione che ha per elementi doppi Pi p , e con A 

 una delle proiettività in discorso, l'altra sarà evidentemente JA . 



