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Matematica. — Sui gruppi di sostituzioni lineari a coefficienti 

 interi complessi. Nota del Corrispondente Luigi Bianchi. 



« I gruppi G di sostituzioni lineari sopra una variabile z : 



ctz -}-" /? 

 yz-\-ó 



a determinante aó — /?/ = 1 , in cui i coefficienti a ,/?,/, J percorrono tutti 

 i numeri interi complessi formati colla radice quarta i o colla radice cubica e 

 dell'unità sono impropriamente discontinui in tutta l'estensione del piano 

 •complesso s ( 1 ). Essi contengono però infiniti sottogruppi propriamente discon- 

 tinui Fuchsiani a cui corrispondono altrettante classi di funzioni Fuchsiane ( 2 ). 

 Allo studio delle equazioni, che per queste funzioni Fuchsiane sono le ana- 

 loghe delle equazioni modulari, e dei loro gruppi di monodromia sembra utile 

 far precedere una ricerca generale sui sottogruppi d'indice finito contenuti 

 negli indicati gruppi G . 



In questa Nota, premessa la ricerca delle sostituzioni generatrici e - del 

 poliedro fondamentale del gruppo G , interpreto geometricamente le condi- 

 zioni affinchè una forma binaria quadratica, a indeterminate coniugate, sia 

 ridotta secondo Hermite. Considero poi quei sottogruppi eccezionali r in G 

 che sono definiti dalle congruenze 



ove ii è un numero primo nel campo considerato e costruisco un gruppo A 

 di un numero finito di sostituzioni isomorfo con G , alla cui sostituzione iden- 

 tica corrisponde in G il sottogruppo T, Se \i è un numero complesso, il 

 gruppo A non differisce dall'ordinario gruppo modulare; quando /i sia un 

 numero primo reale della forma 4n 3 (o dell'altra 6n -f- 5) , A è un 



«a (a* — i) ' ag- 

 gruppo semplice di grado - — ^ doppiamente transitivo sopra cf -j- 1 



a 



elementi, che nel caso particolare ^ = 3 è oloedricamente isomorfo col gruppo 

 alterno sopra 6 elementi. 



« I. Consideriamo il gruppo G in cui a , /? , y , è sono numeri interi 

 complessi della forma a -f- hi , essendo a , b numeri interi reali e dimo- 

 striamo il teorema : 



Ogni sostituzione di G può comporsi colle tre sostitu- 

 zioni elementari 



• »-C.:i) • Mi;;)- 



(!) Klein, Mathem. Ahnalen, Bd. XXI. — Poincaré, Acta mathematica, 3. 

 ( 2 ) V. Picard, Sur les formes quadratiques hinaires à indéterminées conjugées, 

 Annales de l'École Normale Supérieure, 1884. 



