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avremo un gruppo A di sostituzioni sopra le lettere x che sarà evidente- 

 mente isomorfo col gruppo infinito Gr , al sottogruppo F eccezionale in G 

 corrispondendo in A l'identità. Il numero delle sostituzioni di A si trova 

 facilmente dato da 



« Se /ì è un numero primo complesso quindi 



essendo p un numero primo reale della forma 4n -f- 1 , i numeri 



0,l,2,...j» — 1 



formano un sistema completo di resti (mod /a) e il gruppo A non differisce 

 dall'ordinario gruppo modulare. Supporremo perciò che ,u sia un numero 

 primo reale q = 3 (mod 4) , nel qual caso A opera sopra q 2 -j- 1 elementi 



«s/y — i) 

 e contiene - — — sostituzioni. 



* Se consideriamo più in generale le sostituzioni 



dove a,[i,y,ò debbono soltanto esser tali che non risulti aS — /fy = 0 (mod q), 

 avremo definito un gruppo A 1 d'ordine q 2 (</ 4 — 1) di cui A è un sotto- 

 gruppo. Il gruppo A l , come facilmente si vede, è triplamente transitivo sui 

 q 2 -\- 1 elementi 



j a = 0 , 1 , 2', — 1 

 , x a + u ^ = o , l , 2 , ... ry — 1 



e contiene per metà sostituzioni dispari, e metà pari; queste ultime formano 

 appunto il sottogruppo eccezionale A . 



« Una sostituzione qualsiasi di A 1 lascia fermi quei due elementi i cui 

 indici v soddisfano alla congruenza 



yv 2 -J- (J — a) v — /? = 0 (mod q) . 



« Se si pone 



D = (S — a) 2 -f- 4/?y , 



si possono conseguentemente distinguere le sostituzioni di A 1 in tre cate- 

 gorie e cioè: 



a) D = 0 (mod q) , sostituzioni paraboliche che lasciano fermo un solo elemento 



b) = ~\~ 1 » sostituzioni ellittiche che lasciano fermi due elementi 



c) ^~~^J — — 1 > sostituzioni iperboliche che spostano tutti gli elementi. 



Eendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 45 



