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n Qualunque sostituzione parabolica è affine (') ad una sostituzione 

 della forma 



v'= v -f- b (raod q) 



ed ha perciò il periodo q . 



« Qualunque sostituzione ellittica è affine ad una sostituzione della forma 



v'= av (mod q) ; 



il suo periodo è quindi l'esponente cui appartiene a (mod q) , cioè un divi- 

 sore di q 2 — 1 . 



« È facile poi vedere che ogni sostituzione iperbolica A ha per periodo 

 un divisore di q 2 -|- 1 , per il che basta provare che decomponendola in cicli, 

 tutti i cicli contengono egual numero di elementi. Nel caso contrario infatti 

 se r è l'ordine minimo fra gli ordini dei cicli in cui si decompone A , la 

 potenza A r , senza essere l' identità lascia fermi r elementi almeno e 

 perciò r = 2 . La sostituzione A è quindi affine ad una sostituzione che con- 

 tiene il ciclo (0 oo ) ed ha quindi la forma 



v =-~( mod ?); 



questa ha il periodo 2 e tutti i suoi cicli sono di 2° ordine c. d. d. 

 « III. Dimostriamo ora il teorema : 



« Il gruppo A di - — sostituzioni sopra i £ 2 -|-l e 1 e - 



menti x x , x a +u , è semplice. 



« Per provarlo osserviamo che, pel n. I, qualunque sottogruppo H di A, 

 che contenga le sostituzioni elementari 



coincide con A. 



« Ora supponiamo H permutabile con tutte le sostituzioni di A e pro- 

 viamo in primo luogo : 



A) H non può contenere sostituzioni paraboliche. Se H 

 contiene una sostituzione parabolica che lasci fermo il solo elemento Xa+bì-, 

 a causa della (doppia) transitività di A, ne conterrà anche una simile che 

 lascierà fermo x x ed avrà perciò la forma 



" Presa ora la sostituzione 



-' = (l\ b d )^d^l(moiq) 



(') Diciamo affini due sostituzioni A,B di un gruppo se si ha A = CBC _I , essendo C 

 una terza sostituzione del gruppo. 



