di A avremo in H anche la sostituzione 



vn = lo,i )' 



cioè tutte le sostituzioni paraboliche 



G:0 



in cui (? ha lo stesso carattere quadratico di /S (mod q) e però anche tutte 

 le sostituzioni 



« Ma se §' percorre tutti i numeri dello stesso carattere quadratico di /?, 

 la somma + avrà qualche volta il carattere opposto, poiché altrimenti 

 avendosi sempre insieme 



^=±1, + 2 (modu- 

 la congruenza 



(/?' + /?) 2 — /3' = 0(mod?) 

 avrebbe più radici che non unità nel grado. 



« Si conclude che H contiene tutte le sostituzioni ^ ' ^ con § qua- 

 lunque, e però anche S e V. 



« Avremmo dunque in H anche la sostituzione 



/ 0,1\ /1,1W o,i\ / 1,0\ 



v-i,oj \o,i; \-i , o) \-i , i) 



e quindi anche 



(::;)U:;)(, i ,:i)-( ;;:,)-. 



onde H coinciderebbe con A. 



« In secondo luogo dimostriamo : 

 B) H non può contenere sostituzioni ellittiche. Se H 

 contiene una sostituzione ellittica, ne conterrà anche una simile che non sposta 

 gli elementi x 0 ,x x , cioè della forma 



A= (o!°) 



escluso naturalmente che sia a = ó (mod q). La sostituzione di H 



(SAS-.).A-. = (J -f~") 



sarebbe quindi parabolica e perciò H coinciderebbe con A. 



*■ Il gruppo H supposto consterebbe adunque di sole sostituzioni iperbo- 

 liche e poiché H, essendo eccezionale in A, è certamenta transitivo, quindi 



