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il suo ordine è divisibile per $ 2 -fl , dovrebbe esistere in H almeno una 

 sostituzione (iperbolica) a periodo 2. Ora ciò è assurdo perchè, operando la 



Q %J r 1 



sostituzione su tutti i q 2 elementi, contiene un^ numero dispari — ^ — 

 di trasposizioni. 



« Si può osservare che il teorema dimostrato, riferendosi ai gruppi in- 

 finiti G-, r del n. II, equivale all'altro : 



«Il gruppo r di G è sottogruppo eccezionale massimo, 

 cioè non esiste alcun sottogruppo eccezionale di G che con- 

 tenga r. 



« IV. Nel caso q = 3 il gruppo A contiene 360 sostituzioni, quante 

 appunto il gruppo alterno sopra 6 elementi e noi dimostreremo il teorema ; 

 Per q = 3 il gruppo A è oloedricamente isomorfo col gruppo 

 alterno sopra 6 elementi. 



« Per ciò basterà provare che A contiene un sottogruppo K (icosaedrico) 

 di 60 sostituzioni poiché allora una funzione (razionale) <p delle 10 variabili 



a—O ,1,2 

 b = 0,1,2 



invariabile soltanto per le sostituzioni di K riceverà per le sostituzioni di A 

 6 valori distinti 



che le sostituzioni di A permuteranno fra loro secondo le sostituzioni di un 

 gruppo 2 isomorfo A. L'isomorfismo è necessariamente oloedrico, A essendo 

 un gruppo semplice e perciò 2 sarà il gruppo alterno sopra i 6 elementi y. 



« La proprietà caratteristica di un gruppo icosaedrico consiste, come è 

 noto (*), in ciò che in esso si trovano due sostituzioni A, B la prima a periodo 5, 

 la seconda a periodo 2 tali che il loro prodotto AB è a periodo 3. Basterà 

 dunque trovare in A due tali sostituzioni A, B. Cerchiamo in primo luogo 

 in A una sostituzione (iperbolica) a periodo 5 che porti a? 0 in x x , x x in Xi ; 

 avremo 



A =(";o) «=- i < mod3 > 



e poiché 



J) — a 2 — 4 



deve essere non residuo quadratico (mod 3) risulterà 



cc:===.±z (1 2i) o a = =(1 + e) (mod 3). 



« Troviamo quindi due distinte sostituzioni iperboliche a periodo 5 



/l + 2e,l + A /1 + M + 2A 

 \l + 2*,0 )'\l + i,0 ) 



x „ 



X a +i)i 



(!) Vedi Dyck, Gruppentheoretische Studien II. Mathem. Annalen. Bel. XX. 



