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le radici delle determinanti, relative ai punticritici per gli 

 integrali, siano numeri interi; 2° che si possa determinare 

 un parallelogrammo fondamentale, tale che in esso esi- 

 tano n — 1 integrali distinti e uniformi; 3° che l'ultimo inte- 

 grale, che non è uniforme, non riprenda lo stesso valore, 

 quando colla variabile si gira attorno a tutti i punti singo- 

 lari di questo parallelogrammo. 



* 2. La dimostrazione di questo teorema si fonda sopra il lemma: 

 essendo S una sostituzione d'ordine » e T un'altra sostitu- 

 zione pure d'ordine n ed espressa da: 



1 0 0 



T 



0 1 0 



0 



ove S è una costante diversa da 0, se S e TS sono trasformate 

 l'una dell'altra, qualunque potenza di S ha uguale a zero 

 il termine della prima linea e dell'ultima colonna. 



« Sia S' la sostituzione che effettua la trasformazione, cioè si abbia: 

 (1) S'SS'-^TS. 



« Consideriamo la sostituzione : 



/ 1 0 ...... 0 0 



a 2,l a 2,2 a 2,n— 1 0 



H 



I a n— 1,1 a n-l,2 a n—l,n—\ 0 



ove le a sono costanti che per ora assoggetteremo alla sola condizione di 

 rendere eguale alla unità il determinante di H. Allora si trova facilmente: 

 HT = TH, e da questa e dalla (1) si ricava: 

 (2) 8\ Si S/^^TSi 



essendo 8\ = HS' H _1 , Si — HSH -1 . Ora dalla 2 a di queste due relazioni 

 si ottiene: Si p = HS p H~ 1 , Sr^ = HS _2 'H- 1 , essendo^ un numero intero e 

 positivo qualunque. È facile vedere che 8 P e S^ hanno eguale il termine 

 della prima linea e dell'ultima colonna ; lo stesso si dica per S - ^ e 8r^. 

 Sicché, essendo q un numero intero qualunque, basterà dimostrare che S^ 

 ha eguale a zero il termine della prima linea e dell'ultima colonna. Se poniamo : 



[ #1,1 0>i, n \ l #1,1 #l,n j 



Si=) ( si ha TSi =| ( 



#n,l #n,n j j O n ,i ~h <fói,i • • #n,« "~f~ ^#l,n j 



e le a sono quantità che dipendono dalle a e dalle costanti di S. 



