« Da un noto teorema di K. Weierstrass si deduce (*) che la condizione 

 necessaria e sufficiente affinchè la (2) sia soddisfatta è che i determinanti : 



D = 



a. 



a n , 



«n,n * 



«n,l +<?«!,! • • • «n,n+^«l,n * 



abbiano i medesimi divisori elementari. Per conseguenza le due eguaglianze : 



(3) D = 0 , D' = 0 , 



nelle quali si considera s come quantità incognita, devono essere equivalenti. 

 Dalle (3) si deduce : 



(4) D' — D = — Se L = 0 

 essendo : 



«2,2 £ «2,3 «2,n— 1 «2,n 



«3,2 «3,3 £ «3,«— 1 «3.n 



L = 



«H— 1,2 «n— 1,3 



«1,2 



• ««— l,n— 1 P «n— 1,> 



«1,3 «l,n-l 



Le due equazioni (3) sono di grado n, e la (4) è soltanto di grado n — 1. 

 Per conseguenza essa deve risultare identicamente nulla, essendo soddisfatta 

 da n valori di s . Così nel determinante L, che è di grado n — 2 in £, do- 

 vranno resultare nulli i coefficienti delle varie potenze di s. Eguagliando a 

 zero quello di t n ~ 2 , si ha: q hn ==0. Può darsi che si abbia ancora: 



(5) «2,n «3,n " = «n— l,n == 0 • 



Allora la Si e tutte le sue potenze positive o negative godono della proprietà 

 di avere eguale allo zero tutti gli elementi dell' ultima colonna all' infuori 

 dell'ultimo, e per conseguenza anche quello della prima linea. Se poi le (5) 

 non sono soddisfatte, potremo disporre delle a in modo che si abbia : 



(6) «2,n == «3,n z== == «n— 2,n == 0 : «n— l,n < 0 • 



In tal caso nel determinante L il coefficiente di t ,l ~ 3 si riduce 

 e quindi deve essere «i,„_i = 0. Se è ancora : 



(7) «2,n— 1 == «3,n— 1 === — ~ Cl n — 2,n— 1 == 0 



allora la Si e tutte le sue potenze godono della proprietà di avere eguale 

 allo zero i termini delle ultime due colonne all' infuori di quelli apparte- 

 nenti alle ultime due linee. Per conseguenza tutte le potenze di Si hanno 

 eguale a zero il termine della prima linea e dell'ultima colonna. Ma, se non 



(!) Vedi Volterra, Sui fondamenti della teoria delle equazioni differenziali lineari. 

 Memorie della Società Italiana delle Scienze detta dei XL, voi. VI, serie 3 a . 



