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sono verificate le (7), potremo sempre disporre della a in modo che oltre 

 alle (6) si abbia ancora : 



$2,w— i : #3,n— 1 =: == ttn—Z,n—\ == 0 , Cl n — 2, n — 1 < 0 



quindi nel determinante L il coefficiente di t n ~ 4 si riduce a #i, M _ 2 «„_ 2 ,m-i «n-i, n ; 

 perciò deve essere : «i,„_ 2 = 0 ; e seguitando in questo modo si vede 

 che si possono sempre prendere le a in modo che S^, ove ^ è un numero 

 intero qualunque, abbia eguale a zero il termine della prima linea e dell'ul- 

 tima colonna. Ma per quello che abbiamo detto relativamente ad S e ad Si 

 si vede subito che anche S ? deve godere di questa proprietà c. d. d. 



« 3. Eitornando ora al teorema, supponiamo di considerare equazioni che 

 godano di tutte le proprietà esposte nell'enunciato. E facile vedere che si 

 può determinare il parallelogrammo fondamentale, che deve soddisfare alla 

 seconda condizione, in modo che sul suo contorno non cadano punti singo- 

 lari, e che si può scegliere il sistema di integrali y x , y 2 .... y n in modo che, 

 facendo colla variabile un giro positivo sul contorno del parallelogrammo, si 

 venga ad eseguire su di esso la sostituzione T. Di qui risulta che y x , y 2 ... y n -i 

 sono gli n — 1 integrali uniformi, e che y n è quello non uniforme. 



« Supponendo che uno dei vertici del parallelogrammo sia il punto 0, 

 e 2m e 2d)' i periodi, siano S ed S' le sostituzioni che si eseguiscono rispet- 

 tivamente sul sistema d'integrali yi,y 2 , .... y n , quando colla variabile si va 

 da 0 a 2m e da 0 a 2w', camminando sui lati che congiungono questi ver- 

 tici. Allora un giro positivo, eseguito colla variabile sul contorno del paralle- 

 logrammo a par tire dal vertice 0, produce sul sistema d' integrali la sostitu- 

 zione SS'S-'S'- 1 ; epperò dovrà essere: S S'S- 1 S'- 1 = T e quindi : 



(8) S'SS'-^T-'S, SS'S-^TS' 



Queste relazioni ci mostrano che le sostituzioni S, S' sono rispettivamente 

 le trasformate delle altre T" 1 S, TS'. 

 « Dalla prima delle (8) si ha poi : 



S'SaS'-^T^Sa essendo S a = SS' a 

 e a un numero intero qualunque. Ma abbiamo ancora : 



Sa S' S a — 1 = TS' 



e . 



S a S a , p Sa- 1 = TS a ,p essendo S_,p = S' S a P 



e /5 un altro numero intero pure arbitrario. Seguitando in questo modo si 

 può costruire la sostituzione S a ,p,^ facendo: 



Sa,|3, 7 = SaSl,3 ■ 



Procedendo sempre con questa legge si può costruire la sostituzione S a ,p, T ....x , 

 la quale è perfettamente determinata, quando sono fissati i valori dei nu- 

 meri interi a, p, y .... X . Se m è il loro numero si deduce subito dal 



