modo di formazione di Su,fij x che questa sostituzione e l'altra data da 



T ( ~ 1>m S a ,p, T x sono le trasformate l'ima dell'altra. 



« Le sostituzioni fondamentali che entrano nella costituzione di S a ,p, T x 



sono S ed S r , e queste possono anche avere esponenti negativi, perchè a,@,y....X 

 sono numeri interi qualunque. Ciò significa che nella S^p^.-.A possono anche 

 entrare le sostituzioni inverse S -1 , S' -1 . Ora, quando in un prodotto di sosti- 

 tuzioni entra una sostituzione S h volte o la sua inversa S -1 k volte, diremo 

 che S entra in quel prodotto h — k volte. Ciò posto siano [«, /?, y .... X], 

 [«,/?,/ XJ i numeri delle volte che S ed S' entrano in S a ,p, T x- 



* Consideriamo la sostituzione Sp, T ....x, la quale si costruisce con la 

 legge precedente. Le sostituzioni ausiliarie che servono per la sua forma- 

 zione sono : 



Sp = SS'P , Sp, 7 = S'SpT. 



« Ora la Sa,(3,-v....x si può considerare come costituita da S' e da S a ; in 

 tal caso essa è formata da queste sostituzioni come Sp,^....>, è formata da S 

 e da S'. Perciò FjS, / ...A] e [/?, y .... X] sono i numeri delle volte che S' e S a 

 entrano in S a ,p,-y....x , quando essa si considera costituita da queste sostitu- 

 zioni. Ma la S entra in S a ,p,-y....x inquantochè si trova in S« alla prima po- 

 tenza ; epperò avremo : 



(9) [_a ì JÌ,y....X} = tf,y....Xy. 



Invece la S' vi entra per mezzo di S a e direttamente. Evidentemente la S' 

 entra in S a ,p.-/....x per mezzo di S a un numero di volte dato da afj?, y ... XJ- 

 Direttamente poi le S' entra in Sa,^....*. un numero di volte eguale a quello 

 che si ha quando si considera questa sostituzione come costituita da S' e 

 da S a , ossia un numero di volte dato da [/?, y .... X] ; quindi abbiamo : 



(10) [«, /?, y .... X] = a\J,y... yj + [/?, y .... X] . 



Osserviamo finalmente che le sostituzioni fondamentali S, S' e tutte le altre S, 

 qualunque siano i loro indici, godono delle proprietà esposte nell'enunciato 

 del lemma, cioè esse e tutte le loro potenze hanno eguale a zero il termine 

 della prima linea e dell'ultima colonna. 



« Si tratta ora di dimostrare che, essendo dati due numeri interi arbi- 

 trari a, /?, si può sempre costruire una S tale che essa o una sua potenza 

 contenga la S a volte e la S' § volte. Cominciamo dal considerare due nu- 

 meri a, fi primi fra loro, e supponiamo inoltre che a sia positivo. Allora si 

 possono sempre determinare due altri numerici e a l tali che si abbia: 



§ =Pi a H- «i 



e colla condizione che a x sia positivo e minore di a. Considerando poi « e «i 

 si possono fare tutte le operazioni necessarie per la ricerca del loro massimo 



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