— 344 — 



conimi divisore. Siano a 2 , a z ... a^ x i resti successivi, essendo a^ x = 1 , e 

 p s , p 3 ....fì-i , pi i quozienti successivi, essendo pi = ai-%. Dalla (9) si 

 ottiene : 



•••Oi-i,])i] = [?iJ=])i, [>]:==!. 

 Da questa e dalla (10) si ricava poi : 



Oi • ■ • Pil = fi [pi ,Pt... -Pil-h [j?2 • • 



[j>! ,_p, . . =p*[p 2 Pil^Ùh ---Pil 



IP* Pil =PslPs Pil~htp*---Piì 



[pi- 2 , pi-, , # ] = p^ x \_pi- x , pi ] 4- [> ] =j>i-i ? ( + l. 

 Qnest' ultima relazione ci mostra che 



« = Uh , P* ■ • , /? = [jji , JJ» . . . JJ< J 



e quindi la sostituzione 8 Pi ìPìi contiene la S « volte e la S r /? volte. 



a Si abbiano ora due numeri interi qualunque y ed.Se sono ambedue diversi 

 da zero, si può determinare il loro massimo comun divisore come se fossero 



positivi. Allora i numeri > , nei quali si prende il segno + o il 



r ± ± »! 



segno — secondochè y è positivo o negativo, godono di tutte le proprietà di 

 «e/?. Per conseguenza si può sempre trovare una sostituzione S Pl , Pì ... Pi per 

 la quale sia: 



y Ò 

 lPi,Pz---Pil = -—' IP11P2. ■ -Pil - 



Allora la sostituzione &p™ Pt ... p . contiene S y volte e S' ó volte. Se poi è y=0, 



<?<0, oppure y<0, ^ = 0, allora si può considerare nel 1° caso la sosti- 

 tuzione S' 5 e nel secondo l'altra S* 1 . 



n In ogni caso la sostituzione cbe si determina, e che contiene S y volte 

 e S' d volte, ha eguale a zero il termine della prima linea e dell'ultima 

 colonna, poiché essa è sempre una potenza positiva o negativa di una S. 



« Ora, se diamo a y e a d i sistemi di valori: 1,0; — 1,0; 0, 1 ; 

 0, — 1; 1,1; — 1,1; 1, — 1; — 1, — 1, si vede che y x si comporta negli 

 8 parallelogrammi, che racchiudono quello fondamentale, nello stesso modo 

 che combinazioni lineari a coefficienti costanti di y x , y 2 ... y n - x si comportano 

 nel parallelogrammo fondamentale; epperò y x è uniforme in questi 8 paral- 

 lelogrammi. Seguitando in questo modo col dare a y e a ò tutti i possibili 

 sistemi di valori interi, si trova che y x è uniforme in tutto il piano. 



