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« Se y x è di seconda specie, allora può darsi che esso sia il solo inte- 

 grale uniforme; ma, se non è di seconda specie, esso dovrà far parte di 

 un gruppo d' integrali uniformi in tutto il piano, fra i quali ve ne dovrà 

 essere uno almeno di seconda specie. Così il teorema resta completamente 

 dimostrato. 



« 4. Questo teorema può servire utilmente alla integrazione delle equa- 

 zioni a coefficienti doppiamente periodici, quando i punti critici per gli inte- 

 grali che si trovano entro il parallelogrammo fondamentale si riducono a uno 

 solo, perchè in questo caso soltanto si può verificare con metodi algebrici e 

 perfettamente determinati se esistono n — 1 integrali uniformi entro il pa- 

 rallelogrammo fondamentale. In questo caso esso si può enunciare nel modo 

 seguente : 



«Le equazioni differenziali lineari di ordine n a coef- 

 ficienti doppiamente periodici ed aventi entro il parallelo- 

 grammo dei periodi un solo punto critico per gli integrali, 

 tale che le radici della determinante relativa ad esso sieno 

 numeri interi, ammettono uno o più integrali particolari 

 uniformi tutte le volteche nelle vicinanze del punto critico 

 esistono n — 1 integrali che si mantengono monodromi gi- 

 rando attorno ad esso. 



« Le equazioni che soddisfano alle condizioni esposte nell'enunciato di 

 questo teorema possono considerarsi come completamente integrabili. Infatti 

 esse ammettono sempre almeno un integrale particolare uniforme di seconda 

 specie, che si può determinare con metodi analoghi a quelli che sono stati 

 dati nel caso dell' integrale generale uniforme. 



« Noto uno di questi integrali di seconda specie, che si può prendere 

 per uno degli integrali y, yi ad es., si faccia nella equazione : 



Si ottiene in tal modo una equazione d'ordine n — 1 in z pure a coefficienti 

 doppiamente periodici ed avente entro il parallelogrammo fondamentale gli 

 n — 1 integrali particolari distinti: 



Di questi i primi n — 2 sono sempre uniformi nel parallelogrammo fonda- 

 mentale, e l'ultimo viene aumentato del primo moltiplicato per quando 

 si gira attorno al punto critico nel senso positivo, nel caso però che sia i~^>l. 

 Se invece è i= 1 , allora anche l'ultimo integrale è uniforme e l'equazione 

 è di quelle del Picard. Sicché, abbassando di una unità l'ordine dell'equa- 

 zione data, se ne ottiene un altra che in generale soddisfa pure alle condizioni 



