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« 1. Consideriamo ima forma binaria quadratica a indeterminate con- 

 iugate ( 1 ). 



(1) asex 0 -f- bxy 0 -j- 6 0 zc 0 y + cyy 0 , 

 il cui determinante positivo 



J = bb 0 — 'ac 



sia scindibile nella somma di due quadrati. Con una conveniente sostitu- 

 zione ^" ' ^ a coefficienti interi complessi e determinante ad — /?y = 1 si 



può trasformare la (1) in una forma il cui primo coefficiente sia zero (Picard, 

 1. c. p. 17). Per ciò, supposto /I = m 2 -(- n 2 , basta determinare i numeri a,y 

 primi fra loro in guisa che si abbia 



aa -f- b 0 y — ( m ~h in) Y 

 e scegliere per /9 , J una coppia qualunque di soluzioni dell' equazione 

 ad — p r = 1 . 



« Ora una forma 



(2) bxy 0 -f y + , 



in cui il primo coefficiente sia nullo, con una sostituzione della forma 



si traduce in una forma della stessa natura 



bxy 0 -f- 6 0 ar 0 y + e'y^o , 



ove 



c'= c+6/? + 6 0 /V 

 « Se poniamo b = m -\- in , p = £ -\- 

 si avrà 



<?'= c -f- 2w£ — 2^fy 

 e indicando con % il massimo comun divisore ài m,n potremo determinare £ rj 

 in guisa che e' cada fra 0 e 2t — 1 . Le forme del tipo (2), per le quali b 

 conserva lo stesso valore, sono dunque equivalenti ad una delle seguenti 2t 

 forme 



(3) (0,6,0) , (0,6,1) , (0,6,2) ... (0,6,2*— 1). 



« Decomponendo il numero J in tutti i modi possibili nella somma di 

 due quadrati e scrivendo i corrispondenti gruppi (3) di forme, siamo quindi 

 certi che non è omessa alcuna classe di forme a determinante J, dal che già 

 si rileva che il numero delle classi è finito. Per la ricerca dell'effettivo numero 

 delle classi mi limiterò per brevità al caso in cui il determinante *1 non 

 ammette alcun fattore quadrato. 



« Neil' ipotesi superiore m , n sono primi fra loro, cioè t = 1 , e le forme 

 a determinante J si distinguono nei due tipi 



A) (0,6,0) B) (0,6,1). 



(!) Per le notazioni v. Picard 1. c. Qui adotterò per brevità il simbolo (a ,b ,c) per 

 indicare la forma (1). 



