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« Ora la l a non può essere equivalente ad una delle altre due, le quali, 

 a causa di J = 1 (mod 4) , rappresentano esclusivamente numeri pari, ed è 

 facile altresì provare che le ultime due non sono equivalenti fra loro. Nel- 

 l' ipotesi contraria infatti una forma del tipo (0 , è , 0) sarebbe equivalente 



all'altra (0,ib,Q). Sia, se è possibile, ' ^\ una sostituzione che tra- 

 sforma (0 , # , 0) in (0 , ib , 0) ; dovremo avere 



) bay 0 -f- b 0 «o Y = 0 , 

 (4) bccó 0 + boÌ}«y = ib , (5) ad — fr=l, 



\ bpó o + b Q p 0 ó=0 , 



e poiché la sostituzione inversa trasforma (0 , ib , 0) in (0 , b , 0) 



si avrà anche 



J bóy 0 — b Q ó 0 y — 0 

 (6) \ bSa a — b 0 §o y = — ib 

 \ bpa 0 — è 0 /? 0 «=0 



« Ora se si osserva che b 0 è primo con b (4 non avendo fattori quadrati), 

 le due prime (4) provano che a 0 y , § 0 y sono divisibili per b e quindi, es- 

 sendo «o i /?o primi fra loro, y è divisibile per b . Per l'ultima delle (4), 

 essendo S primo con y quindi con b , sarà /S 0 divisibile per b cioè § per b 0 ; 

 poniamo adunque 



p b Q ? y = W 

 /?o— b§\ y a = b 0 y' 0 



e le (4) (5) (6) daranno 



W a ~ ? ~ y' ~ d 



(b) aó 0 + J? 0 y'= i 



(c) ad — Jp'y' — 1 . 



« Chiamando n il valore comune delle frazioni (a) la (b) diventa 

 fi (ad — Jfi. y') ~ — i 

 e per la (e) dà /x — — f . Ora dalle (a) segue 



«o = — ice , /S'o = — e/3 , /o = iy , <?o — ^ 

 e quindi a , /, ó sarebbero divisibili per 1 -\- i ciò che rende assurda 

 la (<?). 



« Abbiamo dunque il risultato: Se il determinante J non am- 

 mette alcun fattore quadrato ed è scindibile nella somma 

 di due quadrati, il nume.ro delle classi delle forme a deter- 

 minante J è. 2 o 3, secondo che J è pari o dispari. 



« 3. Veniamo ora alla ricerca dei gruppi di sostituzioni che trasformano 

 in sè medesima una forma a determinante J. Consideriamo in primo luogo 



una forma del tipo (0 , # , 0) e sia una sostituzione simile della 



