« Consideriamo ora il corrispondente gruppo Fuchsiano di sostituzioni 

 sopra una variabile z : 



m kz + ibo B • 



w ibCz-\-T> ' 



basterà fare il cangiamento di variabile g = — £ per mutarlo nel gruppo a 

 coefficienti reali 



(i*) r= ° , ÀD + </BC = l. 



« Questo non è altro che quel sottogruppo del gruppo modulare f ^ 



a coefficienti interi reali e a determinante ad — /?y — 1 che è definito dalla 

 congruenza 



jS = 0 (mod ^) . 



« 4. Le forme del 2° tipo sono tutte equivalenti alla forma principale, 



xx* — Jyy 0 



e basterà determinare il gruppo delle sostituzioni simili di questa forma. Esso 

 è costituito da tutte le sostituzioni della forma 



\y -j- ió , a — i§ ) 



ove a ,§ ,y ,S sono interi reali che soddisfano l'equazione generalizzata 

 di Peli : 



a 2 + — W (y 2 -f- tf 2 ) = 1 (l). 

 « Dimostriamo che il gruppo Fuchsiano corrispondente 



(in) + + 



è ancora trasformabile in un sottogruppo modulare. 



« Sia J = W 0 una delle decomposizioni di ^ nella somma di due qua- 

 drati e poniamo per abbreviare 



b (y — ià) = c — id 

 indi, operando il cangiamento di variabile 



, e — f 



trasformiamo il gruppo (III) nel gruppo a coefficienti interi reali 



( a — c)£ + (l — d 

 k --(fi+d)t + (a + e) 

 ovvero nel sottogruppo modulare 



(IIP) ?=- At + B 



Cf + D 



(!) Picard, 1. c. p. 53. 



