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in cui si ha 



(c;*K;?) » (y>^ 



insieme alla congruenza che segue dalla (11) 



(13) D - A +/< B + C > s 0(mod.). 



« Ora supponiamo dapprima J dispari e posto b = m-\-in, potremo 

 scrivere la (13) sotto forma reale 



(14) n (A — D) + m (B -f- C) == 0 (mod J) . 



« Sia m pari e n dispari e determiniamo due numeri interi ri, rri pari 

 il 1°, dispari il 2° dalla condizione 



nrri — mn'= 1 

 indi operiamo il nuovo cangiamento di variabile 



_ ni Ti — m 

 Q ~ —n'Z + n ' 

 « Il gruppo (III*) si trasforma nell'altro 



(IV) Z'= ^ + g , A'D'- B'C'=1 



in cui i numeri interi reali A' , B' , C , D' sono dati dalle formole : 



k'=m'(n k-\-m C) — k'(jìB-}-wD) , B'= — m(n k-{-m C)-\-n(n B-{-m D) 

 C'=m'(rik-\-m'C)— ri(riB+m'~D) , D'=— m\ri k\-m' V)+n{riB+m'V>) . 

 « Si ha per conseguenza 



(2:SK:5)<-"> 



risulta inoltre 



B'= — m ] n (A — D) -f m (B + C) \ + JB , 

 ossia per la (14) 



(17) B = 0(mod^). 



« Inversamente se A', B', C\ D' sono quattro interi reali che soddisfano 

 le (16), (17), le formole inverse delle (15) 



; k~n{rri k' — wC')-{-ft'(w'B' — roD') , B=m(w' A — mQ')-\-m'{m'B' — wD') 

 ; G=n(— riM+n<y)+ri{— n'B'-{-nT>') , D=m(— rik'+nQ')-\-m'{— riB'+nV) 

 danno quattro numeri A , B , C , D che soddisfano le (12) (14). Così il gruppo 

 primitivo è trasformato in quel sottogruppo modulare (IV) i cui coefficienti 

 soddisfano le congruenze (16) (17). 

 « Sia ora J pari; poniamo 



j —bb 0 , b — (1 -f- i) (m -f- ni) 



(15) 



cioè 



