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e scegliamo convenientemente i segni di m , n in guisa che si abbia 



a) n W ( m od 4) o b) n }.] (mod 4) . 



' m= 0 ) to= 2 ) v 



« La congruenza (13) dimostra che in questo caso ^ ^ , — ~— sono 



insieme pari o dispari. La 2 a ipotesi essendo incompatibile coli' equazione 

 AD — BC =1 e le congruenze (12), ne segue che in questo caso A , B , C , D , 

 prescindendo da un cangiamento simultaneo di segno, soddisferanno una delle 

 congruenze 



« Con queste ultime condizioni alla (13) si può sostituire ancora la (14). 

 Ora si determinino due numeri interi to', ri dall'equazione 



nm' — mn'=l 



e tali di più che si abbia 



_ (mod 4) o , [(mod 4) 

 w = 0 ) ' n = 2 ) v 



secondo che sussistono le a) o le b). 



i Col cangiamento di variabile 



g. _ TO't — TO 



— n'£-{-n 



otteniamo il sottogruppo modulare 

 (V) Z'= + j 8 ! , AD'— B'C'=1 



C'Z + D' 



definito dalle congruenze 



(20) B'=0^mod^. 



« 5. La nota rappresentazione geometrica dei sottogruppi modulari dà 

 il modo di scrivere le sostituzioni generatrici dei gruppi (IV) o (V). 



« Consideriamo p. e. il caso in cui J è un numero primo p = 1 (mod 4) . 

 « Indichiamo con G il sottogruppo modulare 



e con r quell'ulteriore sottogruppo di G in cui è inoltre 



B == 0 (mo&p) . 



« Nel piano complesso 7 i =x-\-iy il poligono fondamentale del gruppo G 

 è quello compreso fra le due rette x=^=l esternamente al circolo :c 2 -{- if- = 1 ; 

 l' intero gruppo si può generare colle due sostituzioni elementari 



