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quadriche a centro; uno in particolare risguarda l'inviluppo di tali geode- 

 tiche. Mi occupo infine delle geodetiche uscenti da un punto qualunque e 

 ne esprimo le coordinate mediante funzioni teta jacobiane e con un sol pa- 

 rametro. 



« 1. Consideriamo il paraboloide ellittico: 



a 2 b 2 



e riferiamone i punti al doppio sistema delle sue linee di curvatura, interse- 

 zioni del paraboloide dato con una doppia famiglia di paraboloidi ellittici ed 

 iperbolici omofocali al dato. Diciamo 2 2 e 2 3 i parametri di queste due fa- 

 miglie. Posto : 



/i 2 = a 2 + X 2 ; v 2 = — a 2 — X 3 ; h 2 = a 2 — b 2 ; 

 ÌIL = p 2 (h 2 — t u 2 ) (fi 2 — fi' 2 ) (a 2 — p 2 ); N=r 2 (h 2 + v 2 ) (v 2 + fi' 2 ) (a 2 + v 2 ) 



le coordinate x, y, z dei punti del paraboloide, l'equazione delle geodetiche 

 e l'arco a sono dati rispettivamente dalle formule : 



C(a 2 — p 2 )dp 2 C(a 2 + v 2 )dv 2 



I * =t -=- = cost. (1) 



J j/M J j/N 



g _ C ip 2 — p' 2 )(a 2 — P 2 )dp 2 Hv* fi'*) (a* -+- v*) dv* 

 J ~~~~ ~ ~ |/N 



Detto inoltre 6 l'angolo che la geodetica forma colle linee v = cost si ricordi che 



li 2 sen 2 8 — v 2 cos 2 6 = fi' 2 



e però la costante p' è il parametro di una linea di curvatura tangente alla 

 geodetica. Se fissiamo il punto (p 0 v 0 ) da cui esce la geodetica e l'angolo 6 0 

 che forma colla v 0 risulterà fissato pi. È noto ancora che le linee di curva- 

 tura p = cost si proiettano sul piano xy secondo iperboli e le v — cost se- 

 condo ellissi e però le prime hanno due rami che si estendono all' infinito ; 

 le seconde sono curve chiuse. 



« Allorché 0 varia da — ad un angolo la cui tangente è — , p' 2 è 



una quantità positiva decrescente da p. Q a zero, e però le corrispondenti linee 

 di curvatura si allontaneranno sempre più dalla p 0 ; allorché poi 6 decresce 

 sino a zero dovremo ritenere l'altra equazione : 



v 2 cos 2 6 — fi 2 sen 2 6 = p' 2 

 e però in tal caso sarà pi il parametro di quella linea di curvatura v = cost 

 tangente alla geodetica. 



« 2. Occupiamoci anzitutto delle geodetiche uscenti dagli ombilichi; e 

 consideriamo rombili co P situato dalla parte delle y positive. Sarà facile 



