vedere che fi' = 0 . Converrà in tal caso sostituire ai due parametri fi, v 

 altri due U\, u 2 , tali che : 



■p**=b*(8h*Uo — SA*«i) ; v 2 = b 2 (Sh 2 u 2 — Sh 2 u 0 ) 



essendo : 



h 2 = b 2 Sh 2 u 0 ; a 2 = b 2 Ch 2 u 0 

 e poiché fi , v crescono contemporaneamente, dovremo nella (1) ritenere il 

 segno inferiore e però l'equazione delle geodetiche diventa : 



a 2 ) Gh 2 u.du 



h 2 Ch 2 u—a 2 Sh 2 u 



cost. 



« Posto quindi : 



(ui — ih) Thu 0 = v ; e cost = q 



risulterà infine : 



2v _ Sh (ui -f- u 0 ) . Sh (u 2 — Up) _ 

 ® e Sh(u 0 — Ui) Sh(u 2 ~hu 0 ) 

 « La costante arbitraria q ha un significato geometrico molto semplice. 

 Infatti è facile dedurre che: 



. » 0 __ Sh (uì H- Up) Sh (u t — iùq) . 

 ^ ~ ~ SA (^i z« 0 ) Sh(u Q -+- Ui) 



e però : 



,. Sh(u 2 — tip) , 2tì 



se con 0 O s' indica l'angolo che la geodetica uscente dall'ombilico forma con 

 la fi = cost. Dal modo speciale con cui la costante q comparisce nella equa- 

 zione della geodetica, possiamo facilmente dedurre che le geodetiche non in- 

 contrano mai la parabola nel piano yz e si estendono all' infinito ; e inoltre 

 esse non possono avere altri punti in comune, chè se ciò fosse ad una stessa 

 coppia di valori per u x ed u 2 'corrisponderebbero due diversi valori per la 

 costante. 



« Onde gli ombilichi sono punti di prima specie (nel senso del Man- 

 goldt) (*), cioè le geodetiche non ammettono inviluppo e però ( 2 ) non cessano 

 mai di essere le linee più corte tra due loro punti. Tutti gli altri punti sono 

 di seconda specie. 



"« I parametri fi, v, le coordinate ss, y, s di ogni punto della geodetica 

 vengono espressi mediante i due parametri Ui , n 2 colle formule semplicissime: 

 ^i 2 == b 2 Sh (u, 0 + Ut) Sh (u 0 — Ui) ; v 2 — b 2 Sh (u 2 + u 0 ) Sh (u 2 — Up) 



x = b 2 é° \/q . Sh (uo — Ui) Sh(u 0 -hu 2 ) ; y = - ^ W ' 1 



Oli Up Oli Up 



2z = b 2 (Sh 2 u l + Sh 2 u 2 — Sh 2 u 0 ) 



( 1 ) Mangoldt, Ueber diejenigen Punkte aufposìtiv gekrùmmten Flàchen, welche die 

 Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodàtischen Linieri nie aufhoren, 

 kurzeste Linieri zu sein. Creile Journal, V, 91, p. 23-1881. 



( 2 ) Jacobi, Vorlesungen iiber Dynamik, p. 46. 



