« Possiamo ora mostrare che le coordinate so, y, s dipendono da un sol 

 parametro. Se si cambiai in — %> l'equazione delle geodetiche può scri- 

 versi così : 



2U SA (ui ~h u 0 ) S A (u 2 -f- u 0 ) _ 



® e Sh (u x — ilo) SA (u 2 — u 0 ) 



« Posto : 



U\ + u 2 = u 

 con semplici riduzioni otterremo : 



2Ch u 0 Sh u Gh (u — 2u n ) — Gh (ih — u 2 ) 



Sh (u -f u 0 ) — ge ìv Sh (u — u 0 ) Ch u — Gh (ux — u 2 ) 



d'onde si ricaverà Gh (ux — u 2 ) in funzione di u. 

 « E però sarà : 



e v + qe 1 



k Per la y notiamo che : 



b Ghu — OA'(% — u 2 ) 

 y ~Y SA% 



e però : 



, , e~ v Sh (u + u Q ) — oé° Sh (u — u 0 ) 

 il = o • 



9 e~ v + qe v 



« Non così semplice risulterebbe l'espressione per,?, la quale potrà pen- 

 sarsi calcolata mediante la u per mezzo dell'equazione della superficie. 



« Detto infine s l'arco di geodetica contato a partire dall' ombilico P 

 troveremo : 



s = b 2 1 — u x — Sh U\ Gh id + u 2 + SA u 2 Ghu 2 j . 



« Indicando invece con Sx l'arco di geodetica che congiunge l'estremo della 

 prima coli' altro ombilico P x (i cui parametri sono — ito , tc 0 ) troveremo : 



— b 2 | u\ + Sh Ux Gh Ux + u 2 + SA u 2 Gh u 2 j 



e quindi : 



Si — s = 2b 2 (ux + Shux Gh u x ) 



Sx-hs = 2b 2 (ih + SA u 2 Gh u 2 ) . 

 .« Onde: le linee di curvatura /t e v sono rispettivamente 

 iperboli ed ellissi geodetiche i cui fuochi sono gli om- 

 bilichi. 



v 



« Notando poi che per ogni punto della geodetica si ha : tg 0 = =fc= — 



abbiamo ancora: Le linee di curvatura sono le bisettrici del- 

 l'angolo compreso tra le geodetiche che da un punto del 

 paraboloide vanno ai due ombilichi ( 1 ). 



(!) M. Roberts, Sur quelques proprietés deslignes géodésiques et des lignea de cour- 

 bure de V ellissoide. Journ. de Lionville, t. XI, 1846. 



