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« 3. In un punto M della geodetica conduciamo la tangente i cui coseni 

 di direzione Tengono espressi da : 



cosfl sen 6 ~òx_ _ cos 6 ~òy sen 0 7)2/ 



a ~ j/É~ "ty* ~~ > ' ~ j/E 73/* j/g 7)f ' 



cos 0 12 sen 0 ])£ 



7 ~~ |/È " D/* ~~ j/G 7)f 

 dove E e, 6 hanno significati ben noti. 



« Se diciamo £, £ le coordinate di un punto situato sulla tangente e 

 la cui distanza da M sia E, troveremo : 



e però nel punto in cui tale tangente incontra il piano yz sarà: 

 R = 2b 2 Ghui Ghu 2 Sh (ui -f- u 2 ) 



e quindi : 



ry = — hb Gli {ui + u 2 ) ; 2f = a 2 — è 2 CA 2 (e^i + w 2 ) 



d'onde : 



cioè: il piede della tangente alla geodetica sul piano ys 

 giace sulla parabola focale di quel piano; e quindi: 



«Se dai punti della parabola focale conduciamo le tan- 

 genti al paraboloide e su questo le prolunghiamo geodetica- 

 mente, l'arco di geodetica passa per uno degli ombilichi. 



« Poiché in ogni punto della parabola focale nel piano yz sono costanti 

 rj e f e quindi ancora Ui-hu 2 se ne deduce che: le coniche di con- 

 tatto dei coni di rotazione circoscritti al paraboloide hanno 

 per equazione ih-\-n 2 = cost. 



« Detto Si l'arco di geodetica compresa fra il punto di contatto e l'om- 

 bilico Fi e rammentando le espressioni di R e di Si mediante le u sarà: 



R — Si = b 2 ((ui + u 2 + Sh (ui + uì) Gh (ui + u 2 ) ) = cost. 



u Questi risultati estendono al caso delle geodetiche uscenti dagli om- 

 bilichi del paraboloide i teoremi di Chasles ( 1 ). 



« 4. Occupiamoci ora delle geodetiche uscenti da un punto qualunque 

 del paraboloide. La integrazione della (1) mediante funzioni ellittiche può 

 ottenersi nel modo seguente : Pongasi ( 2 ) : 



tt2 * y essend0 (w—fj*) é 



(') Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure des surfaces du second 

 degré, par M. Chasles. Journ de Lionville, t. XI, p. 49, 1846. 

 ( 2 ) Emneper, Elliptìsche Functionen p. 20. 



