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e se alla costante fi' se ne sostituisce un'altra tale che : 



a' 2 



1 — tt- = k 2 sn 2 a 

 h 2 



e osserviamo che il primo integrale va esteso dal più piccolo valore di fi 

 cioè fi' ad un valore fi, si ha : 



(a 2 — fi 2 ) dfi 2 2 sn a dn a 



cn a 



U{ — 2/7 (u x , a) 



essendo 



■ 2 



" 1 — il 2 Sii 2 a SU 2 Ui 



e quindi per formule note ('): 



(a 2 — fi 2 )dfi 2 _ /snadna \ i O-(ui-ha) 



\ Cria V (a) J 



\ Cna V (a) / ° # — a) 



« Poniamo ancora : 



a 2 fi' 2 sn 2 u 2 



a 2 — fi' 2 — a 2 sn 2 ji 2 



e limitiamo T integrale rispetto a v tra il valore zero ed il valore v. Si ha: 



(a 2 -\-v 2 )dv 2 2 dna 2 dna cna { sn 2 udu 



7=^ = th-h 1 — 2 \— 



snacna sna 1 sn 2 a — sn 2 u 



e però ( 2 ) 



(a 2 -hv 2 )dv 2 n /snadna &'(a)\ &i(a-j-u 2 ) 



- 2ic 2 ( — -+- log 



\ cna D\a) J &i{a — \ 



j/N \ cna ^\ a ) / &i( a — Uì) 

 « Posto quindi : 



. , . /&'(a) snadna\ 



v \<> (a) cna J 



oCOSt 



l'equazione della geodetica sarà : 



2ù _ _ ^ (ih — #i (V? — a) < 

 ^ i> (u x + a) (?« 2 -f- a) 



« È notevole la sua analogia con l'equazione delle geodetiche tracciate 

 sull'ellissoide a tre assi disuguali e con quella delle geodetiche uscenti dagli 

 ombilichi ( 3 ). 



(!) Emneper, 1. c. p. 213 eq. 7. 



( 2 ) Emneper, 1. c. pag. 215 eq. 6. 



( 3 ) Braunmùhl, Geodàtische linieri uni ihre enveloppen auf dreiaxigen Fàchen zwei- 

 ten Grades, Matem. Annalen, t. XX, p. 557, 1882. 



