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« 5. Vogliamo ora mostrare come le coordinate dei punti della geode- 

 tica possano esprimersi mediante funzioni teta di Jacobi dipendenti da un 

 sol parametro. Ci occorrerà dedurre dapprima alcune formule, non potendo 

 direttamente valerci di quelle stabilite dal Rosenhain ('). Rammentando le 

 formule cbe esprimono sn, cn, dn mediante quoti di funzioni teta si ha: 



, _ aTk_ 3 2 (^) « 



11 ~ k' 3*( Ul )¥(a) — 



e trasformando il denominatore col noto teorema di addizione ( 2 ) sarà 



9 _ a 2 k 3 2 2 («)3 2 (^) 

 /l U 3 2 (0)3(^ \ a)5( Ul — a) 

 i In modo analogo: 



, a 2 k 3 8 8 («)VM 



k' 3 2 (0) 3i (ih -+- a) 5, (a — u 2 ) 

 e però dopo alcune facili riduzioni si troverà : 



'le 3 2 (a)3 3 (a) 3(^)3i (u s ) 



Q 3 2 ( 0) ' e v 3 (ih + a) % (u 2 + a) 



x = a 2 1/ — 



_b 2 k 1 / r ¥ 3 l (a)B 2 (a) M%) 3 3 (ih) 

 V k' \ q 3 2 (0) é° 3 (w, -f- «) & (a 8 + «) 



2; -A» a 2 £ 3 2 2 («) j , 3 2 («i) ) 



A' 3 2 (0) K0* 2 + «)3i(^ — «) 3(^ + «)3(^ — «)) 

 « Posta ora la relazione : 



3 (ti! — a) 3 ( ut — «) 

 3 (%i + «) 3 (w 2 -h a) 



si trova che ( 3 ) : 



3(Q)3(^ + «)3(^ 2 + «) 23 2 («)3 3 («) 3, (u) 



3 («) 3 3 («,) — 3 2 (0)3 3 (0) "$!(» — a)H-e«*Si(a + «) ' 



« Cambiando quindi u% in w 2 H- — log # e ricordando le formule per 

 la trasformazione delle funzioni teta, sarà agevole vedere cbe dalla relazione : 



_ o 9n _ 3 («i — «) 3_i Q< 2 — «) 

 ? 6 — 3 (ui + «) 3j (ut -h a) 



si dedurrà : 



3 (ui -f- «) 3i (^ 2 -h «) 23(«)3 2 («)3 3 («) 



^OOM^) _ 3 (0)3 2 (0) 3 3 (0)'3(w — u) — <?e 2u 3(w + «) 



(!) Mémoire sur les fonctions de deux variables etc. Mémoires présentés par divers 

 savants etc, t. XI, p. 362. 



( 2 ) Emneper, 1. c. pag. 108. 



( 3 ) Rosenhain, 1. c. pag. 370 e seg. 



