— 400 — 



Ci occuperemo dapprima di questa ricerca. Perciò mi permetto qui di richia- 

 mare i seguenti resultati ottenuti per le curve algebriche piane e simmetri- 

 che, pubblicati nella mia tesi di abilitazione all' insegnamento (') : 



«Una curva di grado dispari 2r-[-l non può possedere 

 un numero pari di assi senza spezzarsi nella retta all'infi- 

 nito e in una curva di grado pari. Essa, senza degenerare, 

 può esser simmetrica separatamente rispetto a 



1;3;5;... 2r + 1 



assi ». 



«Una curva di grado pari invece può possedere tanti 

 assi quante sono le unità contenute in uno qualunque dei 

 numeri non superiori al suo grado ». 



« In generale una curva di grado n non può possedere 

 più di n assi senza possederne un numero infinito e spez- 

 zarsi in ^ cerchi concentrici se n è pari; in n ^ di tali 



cerchi e nella retta all'infinito se n è dispari». 



« In ogni caso gli assi appartengono a un medesimo 

 fascio e sono disposti simmetricamente attorno al centro 

 del fascio ». 



« 2. Si tratta di passare agli analoghi teoremi per le superficie. Prima 

 di tutto osserveremo che se una superficie gode simmetria rispetto a un certo 

 numero di piani di un fascio ; essi saranno disposti simmetricamente rispetto 

 all'asse del fascio, e per conseguenza se si taglia la superficie con un piano 

 normale a quest'asse, la sezione resultante è simmetrica rispetto a rette uscenti 

 da un punto e ad essa saranno perciò applicabili i sopra enunciati teoremi. 



« Ora l'equazione generale di una superficie di grado n può porsi sotto 

 la forma : 



a 0 z n + «i s n ~ l + ... -4- a n -i z + U„ = 0 



dove le a sono costanti e U n = 0 rappresenta la sezione prodotta dal 

 piano 2 = 0. Siano n ed r due numeri dispari di cui il primo non minore 

 del secondo e rappresenti U n (rt = 0 una curva con r assi (§§ 22 e seguenti 

 della mia tesi) allora evidentemente l'equazione : 



a 0 *" -f a, z"- 1 + ... + a n - v s + U M (rt = 0 



rappresenterà una superficie di grado dispari, con un numero dispari di piani 

 di simmetria appartenenti tutti allo stesso fascio. Se n è dispari ere pari 

 allora ogni sezione prodotta da un piano s = cost si spezza nella retta all' infi- 



(') Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Anno 1889. 



