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nito e in una curva di grado pari ; indicando con u x questa retta e con } 



la curva; l'equazione della superficie sarà: 



a 0 f 1 + a x + ... + a n - x z + uJ3™ = 0 . 



Se finalmente n è pari allora le sezioni prodotte dai piani z = cost possono 

 possedere anche un numero pari di assi senza spezzarsi e l'equazione : 



a 0 z n + «, s*- 1 + ... + « n _i z -f U„ (r) = 0 

 dove n è pari rappresenterà una superficie di grado pari con un numero qua- 

 lunque (ma non superiore al suo grado) di piani di simmetria appartenenti 

 al medesimo fascio. 



« Perciò conseguono i seguenti resultati : 



«Una superficie algebrica può possedere tanti piani di 

 simmetria appartenenti a un medesimo fascio quante sono 

 le unità contenute in uno qualunque dei numeri che non 

 superano il suo grado. 



« Tutte le superficie di grado dispari con un numero 

 pari di piani di simmetria di un fascio contengono una 

 retta all'infinito che è quella comune a tutti i piani nor- 

 mali all'asse del fascio. 



« Se finalmente, una superficie di grado n possedesse più di n piani di 

 simmetria appartenenti a un medesimo fascio, le sezioni prodotte da piani per- 

 pendicolari all'asse del fascio possederebbero più di n assi e si spezzerebbero 



in ^ cerchi concentrici se n fosse pari ; in n di tali cerchi e nella retta 



all'infinito, se n fosse un numero dispari. 

 « Dunque : 



« Una superficie algebrica di grado n non può essere 

 simmetrica rispetto a più di n piani del medesimo fascio 

 senza esserlo rispetto a tutti e convertirsi in una super- 

 ficie di rotazione attorno all'asse del fascio. 



« 3. Venendo al caso particolare delle superficie di terz'ordine abbiamo 

 così i due tipi di simmetria rispetto a piani di un fascio : 



(I) x 1 \y + a\ + z* \by -f c\ -f my z -f ntf +py + q = 0 ; 



(II) % 3 — 3wz 2 + a {se 2 + z*) + by {x 1 + z 2 ) + cy 3 + dif -j-ey-^-f=0; 

 di cui la (I) ammette due piani ortogonali, la (II) tre piani inclinati l'uno 



7T 



sull'altro di — . 



o 



« Per i resultati precedenti saranno questi i soli tipi di superficie cubi- 

 che simmetriche quando i piani di simmetria hanno una retta comune. Però 

 in questo caso speciale delle superficie di terz'ordine, con considerazioni sem- 



