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plicissime, si può stabilire quali sono tutti i tipi possibili di superfìcie sim- 

 metriche anche quando i piani di simmetria invece di avere una retta a 

 comune hanno un sol punto ciò che costituisce il caso più generale possibile. 

 « Fra queste ultime il Goursat trova le due ( l ) : 



(III) x 3 — 3xz 2 + a {x 2 + z 2 ) -f bif + c = 0 ; 



(IV) x 2 + y 2 -f z 2 — 2xyz + a = 0 ; 



delle quali la prima possiede la stessa simmetria della piramide doppia, trian- 

 golare, retta a base regolare e la seconda la stessa simmetria del tetraedro 

 regolare. A queste quattro equazioni tipiche è da aggiungersi anche l'altra 



(V) x 3 -j~ ayx 2 -\- by 2 x -\- cy 3 -j- dx 2 -j- ex -\- fy 2 -\- gy -\- hxy -f- 



-f- k -\- z 2 \mx -\- ny = 0 ; 



che rappresenta una superfìcie cubica con un sol piano di simmetria. Fra 

 queste cinque equazioni, due ( la (I) e la (V) ) rappresentano superfìcie sim- 

 metriche rispetto a due, e a uno dei piani coordinati. Evidentemente non si 

 può esigere che la superfìcie sia simmetrica rispetto ai tre piani coordinati, 

 senza che si spezzi in una quadrica e nel piano all'infinito. 



« Mi propongo ora di dimostrare che le precedenti cinque equazioni rap- 

 presentano tutte le possibili superficie cubiche simmetriche non degeneri, e 

 di esporre le proprietà fondamentali di quelle appartenenti al tipo (III) che 

 sono le più interessanti. 



« È perciò necessario richiamare qui i seguenti resultati dovuti a 

 Eckardt ( 2 ). 



« Se per un punto P di una superficie S del terzo ordine passano tre 

 delle ventisette rette della superfìcie e queste tre rette sono situate in un 

 medesimo piano che è evidentemente il piano tangente in P ad S ; il punto P 

 è uno dei dieci punti doppi della hessiana di S cioè uno dei vertici del pen- 

 taedro di Sylvester; il piano tangente in P ad S è uno dei piani diagonali 

 del pentaedro, chiamando piano diagonale quello che passa per un vertice e 

 per lo spigolo corrispondente ; questo piano tangente tocca V hessiana lungo 

 lo spigolo del pentaedro che corrisponde a P e taglia la stessa superficie 

 secondo due rette che passano per P e che non sono spigoli del pentaedro. 

 Chiameremo punto di Eckardt ogni punto di una superficie cubica che è ver- 

 tice del pentaedro di Sylvester ; e superficie di Eckardt ogni superficie cubica 

 che possiede almeno un punto di Eckardt. È noto che una superficie cubica 

 può possedere separatamente: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 10 punti di Eckardt nel qual 

 ultimo caso è la superficie diagonale di Clebsch. 



(*) L'equazione (IV) è stata pure ottenuta dal sig. Lecornu contemporaneamente al 

 Goursat. — Cf. Acta Mathematica 10, 3 : Sur les surfaces possédant les mèmes plans de 

 symUrie que Vun des polyédres régulier. 



( 2 ) Ueber diejenigen Flàchen dritten Grades, auf denen sich drei gerade Linien in 

 einem Punkte schneiden (Math. Annal. Bd. 10). 



