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« Ciò premesso sia P un punto qualunque di una superfìcie cubica S . 

 Tutte le rette passanti per P incontrano in altri due punti la superfìcie S, 

 e il luogo del coniugato armonico di P rispetto a ognuna di queste coppie 

 di punti è manifestamente la quadrica polare di P rispetto ad S . Se ora P 

 è un punto di Eckardt la sua quadrica polare si spezza in due piani di cui 

 uno è il pian tangente in P ad S ; l'altro è evidentemente il luogo del con- 

 iugato armonico di P rispetto a tutte le coppie di punti che sono intersezioni 

 di S con rette passanti per P ; questo piano gode di molte proprietà analoghe 

 a quelle di cui gode la polare armonica di un flesso nel caso delle curve piane: 



10 chiameremo il piano isolare armonico di P . 



« Possiamo così enunciare un primo teorema : 



«In ogni superficie di Eckardt, un punto di Eckardt e 



11 suo piano polare armonico stabiliscono nello spazio una 

 corrispondenza proiettiva che è una omologia armonica, la 

 quale trasforma in sè stessa la superficie e tutte le sue 

 covarianti e in particolare l'hessiana. 



« Nel caso speciale in cui il punto di Eckardt sia all' infinito nella dire- 

 zione perpendicolare al suo piano polare armonico, la superficie fondamentale 

 e le sue covarianti sono evidentemente simmetriche rispetto a questo piano. 

 Dunque : 



«La condizione necessaria e sufficiente perchè una su- 

 perficie del terzo ordine sia simmetrica rispetto a un piano, 

 è che il punto all'infinito delle normali a questo piano sia 

 un punto di Eckardt per la superficie. 



«Tutte le superficie di Eckardt, compresa anche la su- 

 perficie diagonale di Clebsch, sono trasformabili proietti- 

 vamente in superficie cubiche simmetriche. 



« 6. Si può ora dimostrare che l'equazioni del § 3 rappresentano tutte 

 e sole le possibili superfìcie cubiche simmetriche. 



« E questo resulta per mezzo delle considerazioni seguenti. In generale 

 se una superfìcie non degenere ammette un certo numero di piani di simme- 

 tria, essi appartengono a un medesimo fascio, o a una medesima stella e in 

 ogni caso si dispongono simmetricamente rispetto all'asse del fascio, o al 

 centro della stella. 



« Per l'esistenza di un piano di simmetria è condizione necessaria, ma 

 non sufficiente che il pentaedro di Sylvester possegga un vertice nel piano 

 all' infinito. 



« Questo pentaedro può avere 1 ; 3 ; 4 ; 6 dei suoi vertici in uu mede- 

 simo piano (all' oo). Corrispondentemente si hanno le superfìcie dei tipi (V) ; 

 (II) ; (III) ; (IV). 



« Lo stesso pentaedro non può possedere due, o cinque vertici in un piano 

 senza possedervene tre, o sei rispettivamente. Sembrerebbe quindi che una 



