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superficie cubica non potesse possedere due piani di simmetria senza averne 

 un terzo, mentre l'equazione (I) ne rappresenta una con due soli piani di sim- 

 metria. Però bisogna rammentare, come sopra abbiamo osservato, che non è 

 sufficiente porre all' infinito un vertice del pentaedro per conseguirne un piano 

 di simmetria; oltre a ciò bisogna che questo vertice all'infinito appartenga 

 alle normali al piano di simmetria e sia situato sulla superficie fondamentale. 

 Mentre dunque per due vertici del pentaedro possono essere verificate tutte 

 queste condizioni, per il terzo può non verificarsi altro che la prima. 



« Una superficie cubica non può possedere cinque punti di Eckardt, 

 dunque non esistono superficie cubiche con cinque piani di simmetria. 



« Una retta non può contenere più di tre vertici del pentaedro ; quindi 

 non esistono superficie cubiche simmetriche rispetto a più di tre piani di un 

 medesimo fascio. 



« Finalmente non rimane a considerare che il caso in cui la superficie 

 possegga dieci punti di Eckardt e sia quindi una « superficie diagonale di 

 Clebsch » . Però si vede subito che non esistono corrispondentemente superficie 

 cubiche non degeneri con 10 piani di simmetria, perchè i dieci vertici del 

 pentaedro dovrebbero essere in un piano e la superficie si spezzerebbe. 



« Così è dimostrato che le equazioni del § 3 ci forniscono tutti i tipi 

 possibili di superficie cubiche simmetriche. Nè può venire il sospetto che 

 alcune di tali equazioni rappresentino superficie degeneri. Se ciò potesse avve- 

 nire, fra le superficie di grado inferiore a cui dovrebbero ridursi ci sarebbe 

 almeno un piano, e questo per i teoremi precedenti dovrebbe essere o il piano 

 all' infinito, o un piano di simmetria, ciò che le equazioni stesse escludono. 



« 7. Passiamo ora a studiare le proprietà fondamentali della superficie 

 del tipo (III). La sua equazione è : 



x z — Zxz 1 + a {a? + * 2 ) + Pf -f y = 0 

 quella della sua hessiana : 



^H^ + ^) + ^(^-3^ 2 )-(| + ^)(^ + ^)-y^4-^ = o 



la quale gode naturalmente la stessa simmetria della superficie fondamentale. 



« Secondo i resultati precedenti, il pentaedro di Sylvester avrà quattro 

 dei suoi vertici all' infinito nelle direzioni perpendicolari ai piani di simme- 

 tria, dunque tre di essi si trovano sopra una medesima retta e il piano all' infi- 

 nito è uno dei piani diagonali del pentaedro. Esso quindi possiede anche uno 

 spigolo all'infinito. Quella parte che è a distanza finita costituisce un prisma A 

 triangolare, retto, a base regolare. Esso gode la stessa simmetria della super- 

 ficie fondamentale, e per conseguenza ha le tre costole laterali sui tre piani 

 di simmetria che passano per una medesima retta e i piani delle basi disposti 

 a ugual distanza dal 4° piano di simmetria. 



