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rispondenti dell'hessiana. In ognuno di essi queste rette 

 inviluppano una conica. 



ce 



« Il piano x = ^ tocca il cono polare di P lungo tutta la retta sopra- 



o 



numeraria coniugata. Quindi : 



« Tutti i coni polari dei punti di una retta sopranume- 

 raria si toccano lungo la sopranumeraria coniugata, avendo 

 per comune piano tangente il piano delle due rette. Questi 

 coni debbono formare un fascio perchè sono quadriche polari dei punti di una 

 retta; essi hanno già due generatrici comuni coincidenti, avranno quindi a 

 comune anche una conica. Per conseguenza : 



«La curva polare di una sopranumeraria si riduce a 

 questa conica e alla sopranumeraria coniugata contata due 

 volte. 



« 9. Si viene così a togliere un'apparente contraddizione che si manifesta 

 appena dimostrata l'esistenza di queste rette sopranumerarie. Infatti il pro- 

 fessore Cremona nella sua celebre Memoria sulle superficie del terzo ordine ('), 

 osserva al § 84 che se la superficie fondamentale non ha punti doppi, il che 

 nel nostro caso non avviene, l' hessiana non può possedere rette all' infuori 

 delle 10 che costituiscono gli spigoli del pentaedro. 



* Per dimostrarlo egli nota che se una retta r esiste sulla hessiana, i 

 coni polari dei suoi punti debbono formare un fascio, quindi avere il vertice 

 comune ; in questo fascio entrano anche le tre diverse coppie di piani che con- 

 tengono le quattro generatrici formanti la curva base del fascio; allora ne 

 viene che il vertice V di questi coni è un vertice del pentaedro ; r contiene 

 tre punti doppi dell' hessiana ed è lo spigolo che corrisponde a V. 



« Si può però obbiettare che i coni polari di r debbono bensì formare 

 un fascio, ma non è per questo necessario che abbiano il vertice a comune ; 

 perchè formino un fascio è sufficiente che si tocchino lungo una generatrice 

 e che abbiano a comune una conica. Questo appunto succede nel caso che 

 la retta r sia una sopranumeraria. Essa allora non contiene più tre punti 

 doppi dell' hessiana, ma uno soltanto, e infatti nel corrispondente fascio di 

 coni polari non ce ne sono più tre che si spezzano, ma uno solo ed è costi- 

 tuito dal piano che li tocca tutti e dal piano della conica comune. 



« È anche da notarsi che dai teoremi precedenti resultano pure gli altri : 



«I piani polari dei punti di una sopranumeraria fanno 

 fascio attorno alla sopranumeraria coniugata. 



« Il cono osculatore dell'hessiana in un punto di Eckardt 

 che rende simmetrica la superficie fondamentale, tocca l'hes- 



(i) Creile, Bd. 68 



