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Matematica — Sopra una nuova classe di superficie appar- 

 tenenti a sistemi tripli ortogonali. Nota del Corrispondente Luigi 

 Bianchi. 



«■ 1. 1 risultati contenuti nella bella Memoria sulle linee assintotiche 

 delle superficie e sui sistemi di raggi recentemente pubblicata dal sig. Gui- 

 cbard ('), combinati con altri che ho dimostrato nella mia Nota II sui sistemi 

 ciclici di superficie ortogonali ( 2 ), mi hanno condotto allo studio di una classe 

 di sistemi tripli ortogonali caratterizzata dalla seguente proprietà. In ogni 

 punto di una superficie S di uno dei tre sistemi eleviamo la normale e indir 

 chiamo con n il segmento infinitesimo che sopra di essa viene staccato dalla 

 superficie S' consecutiva nel sistema; le linee definite sopra S dall'equazione: 



n --- cost tc 



si diranno linee di livello della superficie S. 



« Ciò posto, definisco i sistemi tripli ortogonali, di cui tratto in questa 

 Nota, come quelli nei quali le linee di livello tagliano sotto angolo costante a 

 le linee di curvatura. 



« Delle superficie S, che possono far parte di tali sistemi, si può dare 

 una proprietà geometrica che le caratterizza, indipendentemente dai sistemi 

 tripli ortogonali cui appartengono. A questo oggetto si considerino sopra S 

 le traiettorie isogonali L sotto l'angolo a delle linee di curvatura e le curve \I 

 simmetriche delle L rispetto alle linee di curvatura, tali cioè che le curve 

 bisettrici del doppio sistema L, L' siano appunto le linee di curvatura. L'ele- 

 mento lineare delle nostre superficie S, riferito alle linee L, 1/ come a linee 

 coordinate, prenderà la forma : 



dv 2 



(1) ds 2 = E du 2 -j- 2 cos 2« du dv -j- — ■ 



u Interpretando quindi u. v come coordinate cartesiane ortogonali nel 

 piano, si avrà della superficie S una rappresentazione piana che conserva le 

 aree e ad un doppio sistema ortogonale dirette nel piano fa corrispondere sulla 

 superficie le dette traiettorie isogonali delle linee di curvatura. Inversamente 

 ogni superficie S che ammette una tale rappresentazione piana, può inserirsi 

 in sistemi tripli ortogonali della specie indicata in principio. 



« Ora mi sembra notevole che tutte le superficie della classe così defi- 

 nita possano ottenersi, nel modo che ora dirò, dalle superficie pseudosferiche 

 usando convenientemente della trasformazione complementare e di Backlund ( 3 ). 



(*) Annales de l'École Normale Supérieure, t. VI, 1889. 

 ( 2 J Giornale di matematiche, t. XXII. 



( 3 J Vedi la mia Memoria, Sui sistemi tripli ortogonali di Weingarten. Annali di 

 matematica, t. XIII. 



