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« 2. Siano note due superficie pseudosferiche 2, 2' trasformate l'ima 



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dell'altra con una trasformazione di Backlund a costante — o. I loro ele- 



menti lineari ds, ds, riferiti alle linee assintotiche u, v, prenderanno la forma 



(2) ds 1 — du % -f- 2 cos 2m dudv -\- dv' z 



(3) ds" l -= dw 4- 2 cos 2c/ du dv -f- dv\ 



dove co, &/ sono due soluzioni dell'equazione a derivate parziali 



= sen (P cos <t> 



Du Dv 



legate fra loro dalle equazioni di Darboux generalizzate : 

 { = tg v cr . sen (w — w) 



(4) 



= cot-5-o\ seniw H- g>) . 



« Indicando poi con X, Y, Z i coseni di direzione della normale alla 

 superficie pseudosferica 2, poniamo : 



i 1== -JL_/2?_2?\ Y _ 1 P Y z _ 1 P z 



1 2cosw\7)m ^y/ ' 1 2cosw\"^ "?y /' 1 2cos«\7w 7>y / 



2 2senw\3« / ' 2 2 seno \ Dm ìtf /' 2 2senw\^ ^ Dv /' 

 talché X! , Yj , Z t ; X 2 , Y 2 , Z 2 sono i coseni di direzione delle tangenti alle 

 linee di curvatura delle superficie 2. Allora se conosciamo una soluzione del- 

 l'equazione a derivate parziali 



= g COS 2ùJ , 



Du Dv . 



otteniamo subito, per quadrature, una superficie S della classe indicata colle 

 formole seguenti, in cui £, r h | denotano le coordinate di un punto mobile 

 sopra S : 



|£=e cos crX-f-o sen a (cos a/ X,+ san &/ X 2 )-f- j {(^X— q ?f (^ X— 



(5) \ =q cos (TY-f-o sen cr (cos to' Y,-f sen «' Y 2 ) + jj^Y._<? (j^Y— 



£=o cos frZ+ ? sen a (cos «' Z, + sen w' Z 2 ) + ( \( ^Z— o — W— (— Z— «??V y l 



J (\7M s Du ) \Dv Dv ! ) 



« Le linee u, v sulla S sono le linee di curvatura e l'elemento lineare, 

 riferito a queste linee, prende la forma : 



ds 2 = 2 j cos \ g ~ 4- ? sen | e cos («' — «) 



-f-' 2 ] sen | e — 4- p cos \- <r cos ( «' 4- w) ^ c/y 2 . 

 f - S 



