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« L'angolo costante «, secondo cui le traiettorie indicate al n. 1 tagliano 

 le linee di curvatura, è fornito dalla forinola 



« E notevole il caso in cui a = — ; allora le due superficie pseudosfe- 

 riche 2, 2' sono complementari e l'angolo a è di 45°. 



« 3. Teniamo fìssa la superficie pseudosferica 2 e consideriamo le co 1 

 trasformate di Bàcklund 2' corrispondenti al medesimo valore dell'angolo a. 

 Le formole (5) ci daranno una serie co 1 di superficie S le cui traiettorie or- 

 togonali sono circoli e che appartengono ad un sistema triplo ortogonale della 

 specie del n. 1. Indicando con io la costante arbitraria, o parametro, che figura 

 nell'integrale generale a/ delle (4), l'elemento lineare dello spazio, riferito 

 a questo sistema triplo, prende la forma : 



tW- = 2 ] cos y a — -j- q sen \ e cos {to' — w) > dit- -\- 



-4- 2 | sen - cr — -(- o cos \ <s cos ( «' -4- w) | tfo 2 4- o 2 sen 2 a (— \ dio 1 . 



« La relazione di questi sistemi tripli ortogonali coi sistemi di raggi 

 considerati dal sig. Guichard al § V ni. e, è semplicemente la seguente. Le 

 normali ai piani dei circoli ortogonali alla superficie w — cost te , condotte pei 



TC 



loro centri, formano un sistema di raggi di Guichard. Per a = — , cioè 



Lì 



quando le superficie 2' sono le complementari della 2, ciascuno di questi 

 circoli ha il centro nel punto medio fra i due fuochi ed un raggio eguale 

 alla semidistanza focale. 



« 4. In ciò che precede abbiamo dedotte le nostre superficie S dalle 

 superficie pseudosferiche, ma si può anche vedere direttamente come nota una 

 tale superficie S, bastino quadrature per dedurne infinite nuove. 



« Sia infatti a l'angolo delle traiettorie isogonali L (n. 1) delle linee 

 di curvatura u, v e 



ds 2 = E du 2 -j- G dv~ 



l'espressione dell'elemento lineare di S. Sussisterà la relazione caretteristica 



, 7) /■ ì ì> ^E \ -5 / i Ti -|/G> 



COt a — | — = ! E = tg a — — — 



G / ^\yE 

 e perciò l'espressione 



, 1 "7> {''E . , , 1 7>l/ft 7 



COt a — = — '- du -+- tg a —p= dv 



|/G- ~ÒV & |/E 7W 



sarà il differenziale esatto di una funzione r di y e sarà pure un diffe- 

 renziale esatto l'espressione 



e z (f X E cos a da -f- f/ G sen a dv) . 

 Rendiconti. 1890. Vol. VI, 1° Sem. 58 



