studiare i complessi rappresentabili univocamente sui punti dello spazio or- 

 dinario. Da ciò appare manifesta la loro importanza. 



« Fra esse la trasformazione più semplice è quella in cui gli spazi a 

 tre dimensioni (ordinari), i piani e le rette del secondo spazio corrispondono 

 rispettivamente ai complessi lineari, alle congruenze lineari e agli iperboloidi 

 rigati (contenenti tutti una medesima retta fìssa, fondamentale) del primo. 

 Ora lo studio di questa trasformazione costituisce l'oggetto della presente 

 Nota. 



« 1. Sia 2 lo spazio rigato e 2' uno spazio lineare a quattro dimensioni. 



1 complessi lineari C di 2 passanti per una stessa retta fissa r, formano un 

 sistema lineare quadruplamente infinito e un sistema analogo è costituito 

 dagli spazi ordinari S' di 2'. Quindi quei complessi si possono riferire pro- 

 iettivamente a questi spazi, in modo che ai complessi di un fascio corrispon- 

 dano gli spazi di un fascio, ai complessi di una rete gli spazi di una rete, 

 ai complessi di un sistema lineare triplamente infinito (sistema propriamente 

 detto) gli spazi di uno stelloide e viceversa. Supposto che una tale corri- 

 spondenza abbia luogo, ne nasce una trasformazione birazionale fra i due spazi 



2 e -2'. Infatti, a quattro complessi C, che passino per una retta data E, 

 corrispondono quattro spazi S', che s'intersecano in un sol punto P', corri- 

 spondente a quella retta E. Viceversa, a quattro spazi S', che passino per 

 tfh punto dato P', corrispondono quattro complessi C, che hanno in comune, 

 oltre r, una sola retta E, corrispondente a quel punto P'. Inoltre questa tra- 

 sformazione è la più semplice fra le trasformazioni birazionali possibili fra 

 i due spazi 2 e 2 ', giacché per essa, in virtù delle ipotesi fatte, si ha evi- 

 dentemente : 



« I. « Agli spazi S' di 2' corrispondono in 2 i complessi lineari C con- 

 ~ tenenti la retta r ». 



« IL « Ai piani 27' di 2' corrispondono in 2 le congruenze lineari G 

 « contenenti la retta r » . 



«IH. « Alle rette E' di 2' corrispondono in 2 gli iperboloidi rigati J 

 « contenenti la retta r » . 



* 2. Ogni iperboloide J contiene una sola generatrice infinitamente vi- 

 cina alla retta r. Quindi sopra una retta qualunque E' di 2' giace un punto, 

 ed uno solo, al quale corrisponda in 2 una retta infinitamente vicina ad r. 

 Da ciò segue : 



« I. < La retta r è fondamentale per lo spazio 2 e le corrisponde in 

 « 2' uno spazio ordinario s' ». 



« Un dato fascio di raggi, al quale appartenga la retta r, è comune ad 

 infiniti complessi C, i quali formano un sistema, cui corrisponde in 2' uno 

 stelloide di spazi S' (1). Al centro Q' di questo stelloide non corrisponde 

 dunque in 2 una sola retta, ma il dato fascio di rette. Ora siccome v'è un 

 numero doppiamente infinito di fasci dei quali fa parte la retta r, così i punti 



