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Q' generano in 2' una superficie F'. La congruenza G corrispondente (1, II) 

 ad un piano dato 77' in 2' contiene due soli di questi fasci ; quindi il piano 

 77 ' ha due soli punti in comune con la superficie F', la quale perciò è una 

 quadrica. Dunque : 



« li. « Nello spazio 2' esiste una quadrica F' luogo di un punto Q' 

 « al quale corrisponde in 2 non una retta, ma un fascio di rette, cui appar- 

 « tiene la retta fondamentale r » . 



* Viceversa ad ogni retta che si appoggi alla retta fondamentale r cor- 

 risponde un punto Q' della quadrica F'. 



« Da questo teorema II e dal teorema III del numero precedente segue : 



« III. * Ad una retta che ha un punto di comune Q' con la quadrica F' 

 « corrisponde in 2 un fascio di rette ». 



« Ora è facile vedere: 



« IV. « La quadrica F' giace nello spazio s' » . 



« Ai fasci di rette contenenti r e aventi i centri in uno stesso punto 

 di r corrispondono sopra F' i punti Q' di una linea k'. Il complesso C di 2 

 corrispondente ad uno spazio S' di 2' contiene uno solo di questi fasci ; 

 quindi lo spazio S' ha un sol punto in comune con la linea k', la quale per- 

 ciò è una retta. Dunque : 



«V. « Ai fasci di rette contenenti r e aventi i centri in uno stesso punto 

 * di r, corrispondono sopra F' i punti di una retta k' » . 



« Analogamente si dimostra : 



« VI. « Ai fasci di rette contenenti r e situati in uno stesso piano pas- 

 « sante per r, corrispondono sopra F' i punti di una retta h' » . 



« La quadrica F' è dunque un iperboloide rigato e le rette h' e lì for- 

 mano i due suoi sistemi di generatrici. Per quanto precede, si può anche 

 dire che quelle rette U corrispondono alle stelle di raggi aventi i centri nei 

 punti di r ; e queste h', ai sistemi rigati posti sui piani passanti per r. 



« 3. Alla conica secondo cui 'F' è segata da uno spazio qualunque S' 

 corrisponde in 2 la congruenza speciale formata dalle rette del complesso C, 

 corrispondente ad S\ appoggiate ad r. Se lo spazio S' è tangente alla qua- 

 drica F', taglia questa in una coppia di rette k' e ìi . Quindi l'anzidetta con- 

 gruenza si compone della stella di raggi che corrisponde a k' (2, V) e del 

 sistema piano rigato che corrisponde ad lì (2, VI) ; epperò è una congruenza 

 doppiamente speciale. Da ciò segue che il complesso C, corrispondente allo 

 spazio dato S', nel quale questa congruenza è contenuta, è un complesso 

 speciale e il sito asse si appoggia ad r. Dunque: 



« I. « Agli spazi S' di 2' tangenti alla quadrica F', corrispondono in 2 

 « i complessi speciali i cui assi si appoggiano alla retta fondamentale r » . 



« Questi spazi generano una varietà-inviluppo U', la quale è una varietà 

 quadratica specializzata che ha per nucleo F', e che, considerata come luogo 

 di un punto, si riduce allo spazio s' contato due volte. 



