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«In modo affatto analogo si trova che le equazioni 



«3 x\ -f- a^ a's — «ì x\ = 0 

 ^ a 3 x'ì — « 4 x\ — ct 2 x' z == 0 



rappresentano il piano /?' di 2' corrispondente al piano IT di coordinate 

 <*! , a 2 , a 3 , « 4 dato in 2 (3 , IV) . Quindi le generatrici k' dell' iperboloide F' 

 hanno per equazioni 



/<,r'i — rx' 5 = 0 

 ,«^ r 2 -f" vx' 4 — 0 , 

 essendo f.i:v un rapporto variabile. 



« 7. La trasformazione studiata conduce immediatamente alla nota rap- 

 presentazione di un complesso lineare C sul corrispondente spazio (ordina- 

 rio) S\ rappresentazione dovuta ai signori Noether (') e Lie ( 2 ) e approfon- 

 dita dal signor Cremona ( 3 ). 



« 8. Ad una varietà data in 2' corrisponde in 2 un complesso e vice- 

 versa. Quindi lo studio di ogni varietà di 2' si traduce nello studio del com- 

 plesso corrispondente in 2 e viceversa. 



« Ad una varietà cubica r' di 2' la quale contenga la quadrica fonda- 

 mentale F', e quindi un piano 77', (quello secondo cui essa è tagliata, oltre F', 

 dallo spazio s') corrisponde in 2, come è facile dimostrare, un complesso gene- 

 rale di secondo grado r contenente la retta fondamentale r . Quindi dalle 

 proprietà della varietà r' si può dedurle la teoria del complesso r. Inoltre 

 siccome quella varietà è rappresentabile punto per punto sullo spazio ordina- 

 rio (e questa rappresentazione si ottiene facilmente proiettando la varietà da 

 uno de' suoi quattro punti doppi situati sopra il piano 27'), così, per questa 

 via, si può anche pervenire, e in modo semplice, alla nota rappresentazione 

 sullo spazio anzidetto del complesso generale di secondo grado ( 4 ). Il legame 

 osservato fra questo complesso r e la varietà cubica P dotata di un piano, 

 fu già fatto notare dal Segre ( 5 ). 



« Ad un complesso generale di secondo grado di 2 , non contenente la 

 retta fondamentale r , corrisponde in 2' una varietà* del 4° ordine avente 

 la quadrica fondamentale F' come superficie doppia. Si ha così un modo sem- 

 plice per dedurre la teoria di questa varietà dalla teoria di quel complesso. 



( ! ) Zur Tìieorie cler algelraischen Functionen mehrerer complexer Variabcìn. 

 GOttmger Naehrichten, Juli 1869. 



(*) Ueber Complexe, insbesondere Linien-und Kugel-Complexe, etc. Mathematiche 

 Aimalen, Band V. 



Sulla corrispondenza fra la teoria dei sistemi di rette e la teoria delle super- 

 ficie. Atti della Reale Accademia dei Lincei, tomo. Ili, serie 2 a . 



( 4 ) E. Caporali, Sui complessi e sulle congruenze di 2° grado. Memorie di Geome- 

 tria di Ettore Caporali, pag. 55. 



( 5 ) Sulle varietà cubiche dello spazio a quattro dimensioni ecc. Memorie della Reale 

 Accademia delle Scienze di Torino, serie 2 a , tomo XXXIX. 



