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per la quale, a causa delle (1) (2), la condizione d'integrabilità è identicamente 

 soddisfatta. Per ogni punto F della S e nel piano ivi tangente si conduca 

 sen o* 



un segmento rettilineo FF X -= — — — , inclinato dell'angolo 0 sulla assinto- 



tica u = cost te , che passa per F. Sulla superficie Si luogo degli eslremi ~F X , 

 data dalle formole : 



Ì. sen <r / „ 1 !>% . ., 1 l>x \ 

 %\ — x A f; — | cos 6* — =- — — -4- sen tì — — \ 

 U \ ]/G ^ y |/E Tv / 

 . sen a / 1 ~òy . a 1 l>y \ 

 V\ — y-\ 77 — I cos 6 — = — 4- sen 6 — = ,2 - \ 

 . sene / 1 ig 1 \ 

 Zi — g A — J cos 0 — = -4- sen 6 —= i > 

 u \ |/ G ìv ^ ■ ~bu ) 



le linee u = cost te saranno altresì assintotiche. Ora queste linee hanno la 

 medesima torsione e lunghezza d'arco delle corrispondenti linee sulla S e però 

 la superfìcie S x appartiene nuovamente alla classe di S . Il segmento FF, 

 tocca in F la S e in F, la Si talché S , Si sono le superfieie focali del 

 sistema di raggi FFi ; inoltre anche le assin Lotiche del 2° sistema si corri- 

 spondono sopra S , Si . Abbiamo dunque il teorema: A ciascuna super- 

 ficie S, con un sistema di linee assintotiche a torsione co- 

 stante, si possono coordinare oo 2 congruenze di raggi di cui 

 S è una falda della superficie focale e la 2 a falda S x appar- 

 tiene alla medesima classe. Sulle due falde S , S x le assinto- 

 tiche si corrispondono e gli archi corrispondenti delle as- 

 sintotiche a torsione costante sono eguali. 



« È manifesto che nel caso particolare TJ ■= cost te si ritorna alla trasfor- 

 mazione complementare o di Bàcklund per le superficie pseudosferiche. In tal 

 caso si corrispondono non solo le assintotiche ma ben anche le linee di cur- 

 vatura, ciò che non avviene nel caso generale. 



« Si osserverà che l'equazione (3), la cui integrazione fa conoscere le 

 nuove superficie Si , è ancora un'equazione del tipo di Eiccati. Così se si parte 

 dall'elicoide rigata d'area minima, la (3) si integra con quadrature e l'appli- 

 cazione ripetuta dell' indicato processo alle nuove superficie che via via si 

 ottengono non richiede mai altro che quadrature. 



« 3. Ecco ora come le superficie considerate danno luogo a sistemi di 

 raggi di Guichard che sono assi di sistemi oo 2 di circoli normali ad una serie 

 di superficie. Presa una tale superficie S si consideri una superficie 2 che 

 corrisponda punto per punto alla S in guisa che due elementi lineari corri- 

 spondenti di S , 2 siano sempre fra loro ortogonali ('). Il sistema di raggi 



(!) Questo genere di corrispondenza per ortogonalità di elementi si presenta, come 

 è noto, nella ricerca delle deformazioni infinitesime delle superficie. 



