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Matematica. — Intorno alla generazione del gruppi d' opera- 

 doni e ad un Teorema d'Aritmetica. Nota di Giovanni Trattini, 

 presentata a nome del Socio De Paolis dal Segretario. 



« Come applicazione pressoché immediata di quanto ebbi ad esporre in 

 due precedenti Note che dedicai a un primo studio del gruppo ® di quelle 

 operazioni le quali non possono concorrere alla generazione di un gruppo fon- 

 damentale, dimostro ora un Teorema d' Aritmetica al quale conduce il gruppo <P 

 relativo a un gruppo di sostituzioni fra loro permutabili a due a due. Questo 

 esempio mira pertanto al precipuo scopo di mostrare l' indole e l' utilità di 

 un certo ordine di considerazioni intorno ai gruppi, quantunque il teorema che 

 espongo sia forse nuovo, e per se stesso considerevole. E poiché l' argomento 

 me ne porge l'occasione, aggiungo poche osservazioni che si riferiscono al 

 gruppo <P corrispondente ad altro gruppo composto di sostituzioni od opera- 

 zioni fra loro permutabili a due a due. 



1. u Teorema. Il sistema delle n congruenze di primo grado 

 con il incognite: 



a t x + « 2 y + « 3 s + . . . + a n io = k x mod. a 

 b t x -f- b 2 y + 5 3 * -f . . . + è» w = k 2 mod. § 



% # + m 2 ^ + m 3 * ~r~ • • • -\-m n w = k n mod./* 



è sempre risolubile quando i numeri a t , b 2 , c 3 , ... m n siano 

 ordinatamente primi coi moduli «, /?, y, ... fi; tutte le a 

 eccettuata a t contengono tutti i fattori primi diseguali 

 di a, tutte le b eccettuata b 2 quelli di /?, ecc.; tutte le m 

 eccettuata m n quelli di /t. 



« Nel caso in cui « = /? = /... = /* il teorema è quasi evidente. Dicendo 

 infatti s il modulo che è comune alle singole congruenze e D il valore del 

 determinante dei coefficienti dei primi membri di esse, potremo al sistema (1) 

 sostituire un altro sistema della forma: 



Da?= M t , Dy = M 2 , ... J)tv~M. n mod.s, 

 dove M 1 , M 2 , ... M„ rappresentano mod. s numeri determinati. Ma siccome, 

 a cagione dell'ipotesi, tutti i termini di D contengono tutti i fattori primi 

 diseguali di s all' infuori del termine principale che è primo con s, sarà D 

 primo con s, e perciò risolubile ciascuna delle congruenze precedenti. 



« Nel caso generale in cui i moduli a, §, ... /i siano numeri arbitra- 

 riamente dati, si può, come dicemmo, ricorrere alle sostituzioni come a mezzo 

 di dimostrazione. 



« Siano adunque Sa , Sp , ... Su. sostituzioni degli ordini rispettivi 

 a , § , ... /t , le quali, considerate a due a due, non offrano elementi comuni. 



