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ossia nelle congruenze: 



(a + A, ce') x -(- a/« #+.•• + A„ a io = mod. a 

 B 1 /5'«r + (B-|-B 2 i3')«/-i---- + B «/ 5 ' ^ = ^2 mo< M 



M t li x -f- m 2 jtt' y -f . . . -f- (m + m„ w — k n mod. /t . 

 « I coefficienti che sono al 1° membro della prima di qxiest' ultime con- 

 gruenze non offrono particolarità oltre a quella di esser multipli di a. Fa 

 eccezione il primo il quale è semplicemente un numero primo con a. Analogo 

 discorso intorno ai coefficienti della 2 a , 3 a , . . . ultima congruenza. Il sistema 

 di congruenze coincide adunque con un sistema della forma (1), e il teorema 

 è così dimostrato. 



2. «Dicendo potenza principale di una sostituzione, quella che 

 ha per esponente il prodotto dei fattori primi diseguali dell' ordine della sosti- 

 tuzione, abbiamo il teorema: 



«Data una base, (sistema di sostituzioni generatrici), 

 di un gruppo G formato da sostituzioni fra loro permuta- 

 bili a due a due, le potenze principali delle sue sostitu- 

 zioni, genereranno un gruppo che non muterà al mutar di 

 essa base, e sarà il gruppo <t> corrispondente a G. 



« Infatti si dimostra facilmente che, data la base B , potremo sempre, 

 elevando le sue sostituzioni ad opportune potenze, ricavare da essa un' altra 

 base B' tale, che una potenza qualunque di qualsivoglia sostituzione di B' 

 generi con le altre sostituzioni della B' medesima, o con potenze loro, gruppi 

 minori dell'intero G. Se pertanto si abbia: B' = (S a ', Sp', ... S ( ,/), ogni 

 sostituzione cp del gruppo 0> relativo a G dovrà essere prodotto di sostituzioni 

 dei gruppi <2> corrispondenti ai gruppi ciclici delle potenze di: S«', Sp', ... S,,.'. 

 Perchè, se così non fosse, ma si avesse : cp = S a ' p Sp' 2 . . . S,,/ M , e potesse S« * 

 concorrere alla generazione di S a r insieme col gruppo ciclico delle potenze 

 di Sa'*' (/ > 1 ) , si otterrebbe come sistema generatore di G il seguente: 

 (Sa* Sa*', Sp', S y ', ... S,/), ed anche il seguente: (g>, S a < Sp', S Y ', ... S,,/), 

 e finalmente l'altro: (Sa*", Sp', S/, ... S,,') . Ma poiché />1, ciò contra- 

 dice all'ipotesi che si è fatta circa le sostituzioni di B'. Adunque non solo 

 i parziali gruppi <X> corrispondenti ai gruppi ciclici determinati dalle sostitu- 

 zioni di B' generano, come già ricordammo, sostituzioni del gruppo <t> rela- 

 tivo a G , ma essi le generano tutte. E poiché questi parziali gruppi CP appar- 

 tengono ai gruppi <2> corrispondenti a quelle sostituzioni di B delle quali 

 Sa', Sp' ... Sp/ sono potenze, così, è lecito concludere che anche i parziali 

 gruppi <2> relativi alle sostituzioni di B generano l'intero gruppo 0> corri- 

 spondente a G . 



« Dalle cose anzidette apparisce che : 



«La potenza principale del prodotto di più sostituzioni 



