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dove la funzione tì (u, v, w) deve soddisfare alle equazioni a derivate parziali: 



1 2 6 D 2 tì sentì costì 



lu 2 lv 2 



E 2 



1 2 6 



^ ^ Dzt \ costì lulio 



D^d costì ld 



\ = — — ( sen6 \ 



y E 7w \ B / 



+ 



1 Dtì Vtì 



D 2 tì 



sentì "òi> 7>«0 

 sentì ld D 2 tì 



IwDyTuy sentì^w ly"^ costì lo lidio 

 a Viceversa ad ogni coppia di funzioni 6(u, v, io), E(zy), che soddisfino 

 queste equazioni, corrisponde uno ed un solo sistema triplo della specie 

 considerata. 



* Fra questi sistemi sono immediatamente visibili e possono effettiva- 

 mente costruirsi quelli che contengono una serie di superficie pseudosferiche 

 di rotazione. La corrispondente soluzione tì delle (I) si esprime per funzioni 

 ellittiche a niodido variabile (funzione di io). Assai più semplice di questi è il 

 sistema costruito più avanti al n. 3 e da esso si potranno dedurne infiniti nuovi. 



2. « A ciascuna superfìcie 2 del sistema pseudosferico applico una trasfor- 

 mazione di Bàcklund corrispondente alle forinole (vedi M. c. n. 25) : 



sen (p cos tì -\ - sen e cos (p sen tì 

 E cose 



cos (p sen tì -f- sen e sen y cos tì 

 E coso 1 



^ ^tì 



1)U Dy 



ly i f^. 



~ÒV 1)U 



dove e è un angolo costante per ciascuna superficie 2, ma variabile dall'una 

 all'altra, cioè funzione di w ; per tal modo ogni superfìcie 2 si cangia in una 

 nuova superficie pseudosferica 2' col medesimo raggio E. Si domanda: è pos- 

 sibile determinare a (io) e cp(iÀ v, io) in guisa che le nuove superficie pseudo- 

 sferiche 2' facciano parte di un nuovo sistema triplo ortogonale? 



■ Procedendo come al n. 27 M. c. si trova che le condizioni a ciò neces- 

 sufficienti sono espresse dalle ulteriori forinole: 

 E cos e = k 



sane e 



l)(f> 



1)10 



sene ( ito 



10 



- — hk — 



cos</> "3 2 tì 



costì lulio 



k 



seng> 1 2 B 



sentì 1)0 lio 



dove k indica una costante arbitraria. In altre parole, avendo sene il valore 



1 — |L conviene che la funzione (p (u, v, w) soddisfi l' equazione a 

 B- 



differenziali totali : 



(II) d<p-{ 



+( 



sen<p cos tì -\- sen e cos y sen tì 



k 



cos cp sen tì -f- sen e sen 9) cos tì 



Do) 



1 sene ( costì IwDw 



seng) ~à 2 tì 



sentì 



= 0 . 



