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ti Per mezzo delle (I) si verifica facilmente che le tre condizioni d inte- 

 grabilità per questa equazione sono identicamente soddisfatte ; il suo integrale 

 generale cp (u, y, io) contiene quindi, oltre k, una costante arbitraria C. 



« Nella trasformazione di Backlund abbiamo adunque un mezzo per co- 

 struire una doppia infinità eli sistemi tripli ortogonali della specie conside- 

 rata, appena ne sia noto uno iniziale. È da osservarsi che il segmento rettilineo 

 PP r , che unisce ogni punto P di una superficie 2 col punto corrispondente P' 

 della derivata 2 r , ha per tutto il sistema la lunghezza costante R cos cr = k. 

 L' elemento lineare dello spazio riferito al nuovo sistema prenderà la forma: 



d s 2 = cos 2 <pdu 2 + sen 2 ? dv 2 + R 2 dio 2 . 



« Questo risultato ci dimostra che il sistema (I) di equazioni simultanee 

 a derivate .parziali ammette infinite soluzioni e dà il modo di passare da una 

 soluzione nota ad infinite nuove, integrando l'equazione (II) a differenziali 

 totali. Questa, se si pone tg |- 9 = A , prende la forma : 



dA + \ aA 2 -\-bA + c \ du + \ ci A 2 + b'A-\- é \dv-\-] a" A 2 + b"A -f e" \ dio, 



dove a,b,c... sono funzioni note di u, v, w, e s' integra con quadratme, appena 

 se ne conosca un integrale particolare. Se ciò accade, e per le equazioni (II) 

 relative alle nuove soluzioni, si mantiene alla costante k il medesimo valore, 

 le successive operazioni analitiche da effettuarsi consisteranno soltanto in 

 quadrature. 



3. « Applicherò il metodo esposto al caso seguente. 



« Si consideri un sistema 00 1 di elicoidi pseudosferiche del Dini col mede- 

 simo asse ed aventi per profilo meridiano la medesima trattrice, ma diffe- 

 renti fra loro per il passo e quindi per la curvatura. Esse formano parte di 

 un sistema triplo ortogonale e se, per semplicità, si pone =1 il segmento 

 costante di tangente intercetto fra la trattrice e l' assintoto, il corrispondente 

 elemento lineare dello spazio si trova dato dalla forinola: 



1 / (v -jr 1p' (w) COS k 2 wY \ 



ds% = c^k I sen » %w + dv2 + — ^0 — ** ■ i ' 



dove : 



X = u -\- v tg ino -f- tp (10) , 

 essendo ip(w) una funzione arbitraria di io. Per il raggio R delle elicoidi 

 pseudosferiche 10 == cost. si ha poi R = cos ino . 



u Se la costante k nell' equazione (II) si pone = 1, si avrà cos a= ^j^- 

 quindi : 



sen a = =£ tg hw . 

 n L' integrale generale della (II) sarà dato da : 

 m tpiv-teMo- senft(C^) sen<r = + tg/ W 



