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consta di a rs coni O eli ordine s, contati ciascuno r volte e di una 

 superficie i/\ di ordine 



v = fi — (rs) = mn + (?» + n) + 2 — (rs) ove (rs) = 2rs« rs . 

 « A completare il teorema indichiamo qui appresso le principali singo- 

 larità della superfìcie ip s . 



a) Il centro S della stella di piani è un punto (n + 2)-plo di tp,. 



b) (Sx e <?2 sono piani tangenti singolari della superficie. La sezione di 

 ipv con <7i si compone di una curva C m n-i (dell'ordine m-\-l) e di una C n(mrt)1 -].- (rs) ; 

 la sezione con ff 2 si compone di una curva C' m ^ n -i e di una G'mn^i-crs) • 



c) Tutti i punti di ffi , fondamentali della trasformazione (<tx S) m , 

 e tutti i punti di a 2 , fondamentali della (c 2 S) M , sono multipli per la super- 

 ficie xps secondo gli stessi rispettivi gradi di molteplicità. 



d) Le rette (u) ? = u ? u' ? , che congiungono i punti u ? di a 1 , fonda- 

 mentali (*-pli per (oy S) m ma non fondamentali per (ffi cr 2 ) n , coi loro omo- 

 loghi u' ? di c 2 , sono rette multiple di grado q per la superficie ip^ ■ 



e) I piani di S, fondamentali per la trasformazione composta (<r 2 S) M , 

 sono piani tangenti singolari della superficie. Com' è noto (E. I. L. § 1) 

 uno qualunque di questi piani o è fondamentale (supponiamo di grado i) anche 

 per la (cy S) m — nel qual caso il relativo grado di molteplicità nella trasfor- 

 mazione (<r 2 S) M è R = fw — {hé— e il piano s' indicherà con (wi) n ; o è ordi- 

 nario per la S),», e in tal caso, se i n è il grado di molteplicità, il suo 

 omologo in Ci è un punto oi fondamentale dello stesso grado per la trasfor- 

 mazione (o-i a z ) n — e il piano considerato s' indicherà con si . 



« La sezione di ipv coi piani del tipo s t si spezza in una curva C ( 

 dell'ordine i e in una curva complementare C v _ì; la sezione coi piani del 

 tipo (wi) R si compone di una curva G hn ^-m (il cui ordine uguaglia la 

 somma e'-f-R dei gradi di molteplicità del piano considerato) e di una curva 

 complementare C v _i_ K - 



Casi particolari della superficie i/v 



I. tt a rs = 0 ; ossia nessun punto fondamentale di (a^ S) m è punto fon- 

 damentale di (di c 2 )„. 



* Il grado della trasformazione composta (c 2 S) M e M = mn ; 1' ordine 

 della superficie ip^ è v = /. i = mn -\- (m -{- w) + 2 . 



II. « n = m e inoltre ogni punto fondamentale r-plo efe' (o^ S) m è awe/ie 

 fondamentale r-plo di (o'iO' 2 )„. 



» Si ha in questo caso 



(rs) = 2rsa rs = 2r 2 a rr = 2r 2 a r = m 2 — 1 , 

 M = 1 , v = 2vi + 3 , 

 S punto (m -f- 2)-plo della xp H e= ìp 2m ^ ■ 



(!) Vertici di questi coni sono i punti D,. s ; ne sono basi le curve di ff 2 che a questi 

 punti corrispondono come linee principali à s " della trasformazione (tfi ff 2 )„ . 



