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III. * Se n = l, si ha s == 0 , M = m , r = 2m + 3 . 



« Vale a dire: z7 luogo generato da una stella (di piani) S e da due 

 piani collineari (T^ <r 2 J essa é Cremoniana reciproca di grado m, 



è superficie ip ììn ^z dell' ordine 2m-f-3 ooggjfc m S «wz joemfo triplo. 

 Oltre alle singolarità descritte nel caso generale, la superficie ha altri piani 

 tangenti singolari cioè tutti i piani della sviluppabile di 3 a classe generata 

 dai sistemi collineari o%<%. 



IV. «/( — 1 e inoltre Ci , c 2 sono piani prospettivi (sezioni di una 

 stella S')- In questo caso, prescindendo dal complesso lineare di raggi appog- 

 giati alla retta òy, si ha 2 = S', cioè la congruenza 2 diviene una stella 

 di raggi S' Cremoniana reciproca di grado m con la stella di piani S; e 

 la superficie generata <p diviene il monoide <P m +i da me altrove considerato 

 (A. L. Nota I). 



V. « Se (per m ed n qualunque) tfi e c 2 sono sovrapposti su uno stesso 

 piano cfJ, la superficie ip degenera nel piano &s contato mn -f- m volte e 

 negli n -f- 2 piani della stella S, che corrispondono agli elementi uniti di 

 quei due sistemi isografici. 



« Poste fra tre stelle di piani S, Si , S 2 le trasformazioni birazionali 

 (Si S) m , (Si S 2 )„ , e ammesso per generalità che in Si yì siano a rs piani D rs , 

 fondamentali multipli di grado r per la prima e fondamentali multipli di 

 grado s per la seconda di queste trasformazioni, sussisterà fra le stelle S 2 , S una 

 corrispondenza Cremoniana isografica (S 2 S) M di grado M = mn — 2rsa rs , i cui 

 elementi fondamentali si desumono dal § 1 1. c. (R. I. L.) ; e fra la con- 

 gruenza 2' == [Si S 2 ] w = (n, n -f- 2) e la stella S = S m si verificherà una 

 corrispondenza univoca ('). Indicando col simbolo 



ip' = (2- S) nm =i= | 2' ;•-■=: [Si SJh, , S in \ 

 il luogo dei punti comuni ai raggi di 2' e ai corrispondenti piani di S, si 

 ha il seguente altro teorema generale : 



Il luogo ip', generato dalla congruenza 2' = [Si S 2 ]„ e dalla stella 8 m 

 univocamente riferite fra loro, è dell'ordine $ = mn -f- (m -f- n) ; si 

 compone di a rs inviluppi piani di classe s., contati ciascuno r volte , 

 e di una superficie i/A/ di ordine 

 v' = fi' — (rs) = mn -j- (m -j- n) — (rs) ove (rs) = 2rsa rs . 



La xp'v passa pei centri delle tre stelle ed ha in S un punto «-pio, in Si 

 un punto [mn — (rs)]-plo e in S 2 un punto w-plo. 

 » Notiamo le altre principali singolarità della superfìcie t/A/. 

 a) Ogni piano di S 2 , fondamentale di grado i nella trasformazione 



(S 2 Si) (l , e ogni piano di S, fondamentale di grado i nella trasformazione 



(S Bi)m, è un piano fondamentale — rispettivamente ( 2 ) di grado U—mi — (kr) 



(1) L. c. (A. L. Nota III). 



(2) L. c. (E. I. L.). 



Rendiconti — Vol. II. 12 



