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e di grado H=ni — (hs) — nella trasformazione composta (S 2 S) M • Ciascuno 

 di questi piani è piano tangente singolare della i/A/ ; la sezione sua con 

 la superficie si compone di una curva Ci (n n-i)_<*r) 0 rispettivamente Gi^^-^ 

 (il cui ordine è uguale alla somma i -f- E dei relativi due gradi di molte- 

 plicità) e di una curva complementare C v _i_ R • 



b) Ogni piano u 9 di Si , fondamentale £-plo della (Si S) TO ma ordinario per 

 la (Si S 2 ).„ , ha in S 2 il suo omologo u' ? ; e ogni piano v t di Si , ordinario 

 per la (Si S) m , ma fondamentale z'-plo della trasformazione (S x S 2 ) M , ha in S 

 il suo omologo v\ . Le rette (u) p = u p u' p , (y)ì = v £ y'ì sono multiple per 

 la superficie xjJ, secondo i gradi pei rispettivamente ( 1 ). 



Casi particolari della superficie ip'. 



I. « Le stelle di piani S x , S 2 sono concentriche (centro comune S') ed 

 m, n qualunque. (Si Teda sotto, il caso VI). 



« La congruenza 2' =.[Si S 2 ] M diviene una stella di raggi di centro S', 

 ed ha per piani singolari gli n -f- 2 piani uniti di Si , S 2 . 



« La ip' ha lo stesso ordine e le stesse singolarità che nel caso generale; 

 soltanto è da osservare che qui S' (=Si=S 2 ) è un punto [mn-)-m — (rs)]-plo 

 e che inoltre la superficie contiene n-J-2 rette situate nei piani uniti di Si,' S 2 . 



II. « a rs = 0 ; ossia nessun piano fondamentale di (Si S) m è fondamen- 

 tale per (Si S 2 ) n . 



« Il grado della trasformazione composta è M = mn ; 1' ordine della su- 

 perficie ip' è v' — fi' = mn -\-(m-\- n) , 



III. « Se n=l, si ha s = 0 , M = m , v' = 2m -f- 1 . 



« Dunque tre stelle di piani Si S 2 S, delle quali la Si sia collineare 

 alla S 2 e Cremoniana isografica di grado m alla S, generano una super- 

 ficie t// 2mi -i dell'ordine 2m -|- 1 , passante semplicemente per S. Oltre alle 

 singolarità del caso generale è da notare che questa superficie contiene come 

 curva w-pla la cubica gobba generata dalle stelle collineari Si , S 2 . 



IV. ( 2 ) « Se n — m e inoltre ogni piano fondamentale r-plo di (Si S) m 

 è anche fondamentale r-plo per (Si S 2 )„ , si ha 



m|= 1 , v' = 2m -f- 1 . 

 « L'attuale superficie ip'ìm^i è quella stessa trovata nel precedente 

 caso III', soltanto restano scambiate fra loro le stelle S ed Si, cosicché la 

 cubica m-pla è qui generata dalle S e S 2 . 



(!) I correlativi dei due teoremi generali sopra esposti si riferiscono alle superficie 

 (Z'o) nm = J Z'= [S t SJ w , <r m | e {2<r) = j 2=[>i <r 2 ]«, <r m \; se ne omettono gli enun- 

 ciati. Le a e S rappresentano anche qui piani punteggiati e rispettivamente stelle di piani. 



( 2 ) H teorema relativo a questo caso particolare mi fu comunicato dall'egregio mio 

 amico dott. G. Guccia con lettera da Parigi in data 8 dicembre 1885; credo doverosa questa 

 dichiarazione, quantunque già io conoscessi 1' anzidetto teorema quando fu presentata il 

 6 dicembre 1885 all'Accademia dei Lincei la precedente mia Nota. 



