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» Se il sistema (1) è conforme ad («,/?,... r), riducendo 

 comunque i coefficienti delle successive sue forme mod.a',. 

 mod.§',..mod.v' rispettivamente, si otterrà un nuovo sistema 

 che sarà conforme anch' esso ad («, /?, ... v). 



a Siano infatti s a , ap, ... . s, , u sostituzioni degli ordini a, ^ ... v, prive 

 a due a due di lettere comuni. Poiché il sistema (1) è conforme ad («, . . v), 

 i prodotti: 



(2) c4'-C> c 



formeranno una base del gruppo generato da s a , sp, ... Infatti sarà pos- 

 sibile, elevando il 1°, 2°, ...n mo prodotto a certe potenze X\ , x 2 , • • • x n , e 

 moltiplicando le potenze fra loro, ottenere la sostituzione s a hi . sp te . . . • s v Stt , 

 qualunque siano i valori di hi , k* , . . . . # M • Una base del gruppo sarà adunque 

 costituita altresì dai prodotti ('): 



s a ,8 v . ' °a - °P ^ 



« Le forme lineari : 



n n n 



y + «' aO y . -f- bo , 2!» + Mi) ' 



saranno adunque conformi ad (a, /?, . . v). 



« Il Teorema d' Aritmetica della precedente mia Nota è, come dissi, un 

 corollario di questo Teorema più generale e vi si giunge considerando che il 

 sistema : 



CLiOCi , b%Xì , — m n x n 

 è conforme ad (a, /?, ... v) quando ai, b 2 , ... m n siano rispettivamente primi 

 con «, /?, r. 



« Vi si giunge ancora per considerazioni dirette abbastanza semplici che 

 qui ometto per brevità. 



2. « Al n. 2 della mia Nota sopra citata si legge una proprietà cova- 

 riantiva delle diverse basi di un gruppo di elementi fra loro permutabili ( 2 ). 

 Essa dà luogo al seguente teorema reciproco del precedente : 



« Se il sistema (1) è conforme ad (a, /?,... v) , e resta tale 



(1) A. 1. c. 



( 2 ) Le potenze principali dei vari elementi di una base di un gruppo G ad elementi 

 permutabili e d'ordine [*=p*.q$... , formano una base del gruppo Prendo occasione da 

 questa nota per osservare che siccome si ha: G = (P, Q, ...) essendo P, Q, .. . gruppi 

 degli ordini p*, q$ , il gruppo * sarà quello che è generato dal gruppo delle p me po- 

 tenze degli elementi di P, delle q me degli elementi di Q, e c, s. Ma gli ordini di questi 



o-rurmi sono • ^— , 2?,... dove »i , ffi ; indicano quante sostituzioni degli ordini;;, q, . . . 



Pi 2> . ì 



sono in P, Q, ... ; l'ordine di # sarà adunque — •; eguale al quoziente dell'ordine 



Pi qi • • ■ 



