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si hanno pei quadrati di quelle dodici funzioni le seguenti : 

 C ~- == A/* -J- [iif -\- Xz 2 -\- io 2 — C -^f = X-\- y 2 + X[iz 2 + ixw- 



B-|f = 1 + Xy 2 + Xvz 2 ~\- vw 2 B ^lr= v + Xm f + X * 2 + ^ 2 



# 2 d- 2 

 &--£r = ! xvJ r f ~\~ + <«w 2 A — ^ = 1 + pvy 2 + ^ 2 + vw ~ 

 (1) 2 * 



B ^= A + 2/ 2 + « 2 + ^ -C ^§± = + + ^ 



A^=- [x+vf-\- z 2 +nvw 2 — A-^= v+ ^ 2 +/wr 2 + w ? 



C^- = 1 -f Xf -f /^ 2 -f A^ 2 — B = Xv -j- rj/ 2 + £ 2 + ^y 2 . 



« Ponendo in queste relazioni Vi = v 2 = 0 e rappresentando con e, c 0 , C\ z~- 

 i corrispondenti valori di &(vx, v t ), -tf- 0 (vi, v z ) ... . , si ottengono dalle supe- 

 riori le relazioni : 



e 2 



0 0 



e 2 — 



X[IV 1 



X — [iv 



c 2 

 c 2 



V 



X 



— X\i 



[IV 



c 2 



^3 4 



c 2 



n 



X 



— Xv 



[IV 



e 2 



v 2 3 



A 



e 2 m 





B 



c 2 





c 



C 2 



X — (iv 



c 2 



X 



[IV 



c 2 



X 



[IV 



9 ' 



KX 



r 2 





B,u 



e 2 





Gv 



c 2 



X — [tv 



c 2 



X 



[XV 



C 2 



X 



[IV 



nell' uso delle quali importa osservare che : 



BC = A(A 2 — 1) CA = B(1 — [i 2 ) AB = C(1— v 2 ) 



« I nuovi moduli X, [i, v sono quindi : 



(2) x =-°k ^- C t v — c ¥ 



^23 ^ 0 3 °2 



che danno per a, b, c i noti valori : 



2a = — g 't + f 23 2b=— g * + g ° 3 2c = — C ''l + / 2 



u 14 "23 "4 "03 u O 1 "2 



2. « Stabilita così la definizione dei nuovi moduli facciamo seguire una 

 prima applicazione nella ricerca delle equazioni differenziali parziali che devono 

 essere soddisfatte dal numeratore e dal denominatore delle forinole per la 

 trasformazione o per la moltiplicazione. 



« II sig. Krause nel suo lavoro Ueber einige Differentialbeziehungen im 

 Gebiete der Thetafunctionen zweier Verànclerlichen (}) ha dato la forma di 

 quelle equazioni differenziali affatto corrispondente a quella della analoga per 

 le funzioni ellittiche, ma, come l' autore stesso osserva, questo risultato teo- 

 rico doveva rimanere senza applicazione per le varie incognite che conteneva 



(') Mathematische Annalen. Bd. XXVI, 1885. 



