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« Le equazioni differenziali (2) conducono così alle due seguenti : 

 dS „ dS , dS , dS , , dS 



_ dS . dS _ . dS . „ dS , . dS , „ , dS , . 7 dS 



Bui -, h z< 2 -7 — = 2Ai 77- + 2<7 2 ~, — + 47i 7 h 6/j 77- 4- 4£ 2 -77- 



dui du 2 dA x 1 efc 2 d?\ 1 e^ 1 <^ 2 



e siccome dalla seconda di queste, posto : 



S ( M )=^Cl 1 a (7 2 6 (7 1 c h a h e U?U 2 s 



nella quale C è un coefficiente numerico ed a, è, <?, e, r, s numeri interi 

 da 0 ad 00 , pei quali intendesi esteso il segno sommatorio, si ha : 



3r -j- s = 2 (a + b + 2c + Sd + 2 e) 

 risulta che r -j- s non può essere numero dispari, cioè che lo sviluppo in 

 serie di S (u), avrà la forma : 



S (il) — 1 + 0«i > %)? + (ih , ^ 2 ) 4 + ( M i ' ^2)6 + •- 



essendo (ih , %) 2 , (y>\ , w 2 ) 4 funzioni omogenee di ^1 , % dei gradi 2°, 4° 



e così via. 



« La trasformazione delle equazioni differenziali (4) (6) (7) conduce ai 

 seguenti risultati. Si indichino con ip, ■& i tre simboli di operazioni: 



* = t r (a, 4 + Ai « r 3 + A 2 a/) 

 si ottengono facilmente le relazioni : 



g>(Ai) = 2A 2 Ai 2 , 9 , ((7 2 ) = 27 1 <7 2 2 , <P(<7i)= Ci<72 



9 (li) — <?2 h — 2<7! l 2 — Ai li , <p (/ 2 ) = Mi — — Ai lì 

 e per esse trasformasi la equazione (4). 

 « Così essendo : 



i/j (Ai) = — Ai A 2 + 3A 3 ; tp (a 2 ) = 0* — 3 7l a 2 + Ai (2 7l — a 2 ") 



*P (<7i) = CTi <7 2 2 27i 2 A! ffj (7 2 



^ (k) = — 2/! / 2 -f- (5<7 2 2 — 5ffi — 3Ai ff 2 ) Z, + (ff 8 — Ai) ffi h 

 xp (h) = — 2/ 2 2 + 2 (Ai — ff2 ) Z, + 2 (3<7 2 2 — 2<7i — 2Aj cr 2 ) Z 2 

 si ha la trasformata della (6) ; infine dalle : 



#(Ai)=— AÌA3+4A4 ; #(<7 2 )=2|gi— <7 2 2 ) 2 + A lff8 ((T 1 — ff2 2 )+(2j 1 — cr 2 2 )^ 

 & (cri) = cri <7 2 (cri + 2ff 2 2 ) + Ai (2?i -f cr 2 2 ) — cri (7 2 Z 2 

 ^ (^) = — 3 — 2? 2 Z, 4 — 4<7i (%j + a 2 2 ) Ai 2 — 2 (3cr x + <7 2 2 ) Aj h + 



+ t7i ff 2 (9gi -f- 7^ 2 2 ) A t + a 2 (7<7i + 4<7 2 2 ) ?i + £ ! ff 2 2 (3 7 i— <7 2 2 ) 

 & (h) = — 2 /i / 2 — 2-2 ^ 2 + <7 2 A t li — (5(7 1 + 2<7 2 2 ) Ai 4— 8A X ffi 2 + 



+ (<7! — 2ff 2 2 ) li + 2(7 2 (37! + 2C7 2 2 ) h • 



